Minden irracionális szám között van racionális szám. Ez igaz?

Ez igaz.

Induljunk el a számokon, keressük meg az első különböző számjegyet. A nagyobb számból hagyjuk el az ez után következő jegyeket. A keletkezett szám racionális, és megfelel a feltételeknek.

Korrigálnám az előzőt; ha két negatív számot veszel, és ha a nagyobbnak hagyod el a jegyeit, akkor a kapott szám pont, hogy ki fog esni a két szám által meghatározott intervallumból. Abban az esetben a kisebb szám jegyeit kell levágni, hogy a megfelelő számhoz juthassunk.

Ezzel az eljárással amúgy nemcsak az látható be, hogy van két irracionális között egy racionális, hanem azt is, hogy végtelen sok van belőlük.

Az sem nehezebb; először lássuk be azt, hogy bármely két egész szám között van irracionális. Szerintem erre nem nagy művészet választ adni, úgyhogy a fantáziádra bízom.

A következő lépés az, hogy ha a két szám racionális, akkor biztosan felírhatóak két egész szám hányadosaként, törtalakban. Akkor írjuk fel őket törtalakban, majd hozzuk őket közös nevezőre. Tudjuk, hogy két tört közül az a nagyobb, amelyiknek nagyobb a számlálója, így gyakorlatilag azt kell vizsgálni, hogy a keresett tört számlálója az előbbi kettő közé essen. Mivel tudjuk, hogy egy irracionális/racionális alakú tört mindig irracionális (ha nem tudod, akkor lásd be azt is), ezért csak annyi a dolgunk, hogy egy olyan számot mondjunk, amely az előbbi két tört számlálója közé esik és irracionális.

Ezzel az eljárással itt is belátható az, hogy nem csak 1, hanem végtelen sok irracionális szám van két racionális között.

Például lássuk be, hogy az 1/2 és az 1/3 között van irracionális szám!

Hozzuk őket közös nevezőre: 3/6 és 2/6

Tudjuk, hogy irracionális/6 értéke irracionális, így már csak egy olyan irracionális számot kell mondani, amely 2 és 3 közé esik. Ilyen például a pi-1=~2,14159..., tehát a (pi-1)/6 egy olyan irracionális szám, amely 1/2 és 1/3 közé esik.

Ennél tudunk "szebb" számot is mondani; bővítsük tovább a törteket: 6/12 és 4/12. Ezek közé már mondható például a gyök(20)/12.

Ez az eljárás bármilyen két racionális számra működik.