Matematika R->R-be?

1) Az összes valós számhoz valós számot rendel (pl f(x)=x)

2) Az összes pozitív számhoz valós számot rendel (pl g(x)=lnx)

Ami utána jön a kérdésedben, azt nem értem.

Igen, ennyi. Tehát ha R+->R van, akkor „x” helyére csak pozitív valós számot írhatunk, még akkor is, hogyha a felírt függvény egyébként értelmes lenne a 0-ra vagy a negatív számokra. Például azért lehet erre a megszorításra szükség, mert a boltban -3,5 kg krumplit nem tudsz venni, pedig a krumpli teljes árát leíró k(x)=120*x függvény önmagában még értelmezhető is lenne x=-3,5-re.

Tehát egy függvény értelmezési tartományát/értékkészletét nemcsak a függvény fajtája korlátozhatja, hanem a körülmény is, amire fel akarjuk használni.

Érdekesség; általában mindig R->R szerepel a feladatoknál, még akkor is, hogyha egyébként nem minden R-beli szám használható fel. Például az

R->R f(x)=gyök(x)

is teljesen helyes, annak ellenére, hogy egyébként x helyére nem írhatóak negatív számok, és az eredmény sem lehet negatív. Ez azért van, mert ezzel egy SZÜKSÉGES feltételt fogalmaznak meg, tehát ezen a halmazon mozoghatunk, de ez nem jelenti egyenesen azt, hogy minden számot fel is kell használni.

Ha viszont úgy van írva, hogy

[4;végtelen[ -> [20;30] f(x)=gyök(x), akkor arra is oda KELL figyelni, hogy x helyére csak 4-től írhatunk számokat, és az eredménynek 20-tól 30-ig KELL esnie.

A lényeg: azzal a résszel csak akkor kell foglalkozni, hogyha a függvényt „csonkíntja”, középszinten általában csak a kikötést fedi le, így érdemi jelentősséggel nem bír.

Tisztázzuk akkor :) :

Szigorúan véve a definíció: f:A -> B felírás pontos jelentése, hogy D_f (értelmezési tartomány) = A. R_f = f(A) (azaz A f általi képe, más néven értékkészlet) részhalmaza B-nek. A függvény egy olyan "kapcsolatteremtő" matematikai objektum ami BALRÓL EGYÉRTELMŰ. A pontos definíció ezt az elvet tartja szem előtt.

Két gondolat:

1. Nem mindig úgy adják meg A-t, hogy egyben értelmezési tartomány is. Emiatt vagy kiegészítő információként odaírják, hogy pl. x=>2, vagy nem írunk semmit. De minden esetben meg kell vizsgálni mi D_f. x>=2 feltűnése még nem biztos, hogy az értelmezési tartományt adja meg, csak a lehetséges legtágabb értelmezési tartományt. Igen x>=0 helyett elég az R^+_0. (^felsőindexbe, _alsóindexben) ennek a jelentése a 0 és a pozitív valós számok, csak + jellel a pozitív számokat jelentené.

2.R+ -> R és R+ -> R+ között alapvetően: Nincs különbség ha ugyanazon számpárokat írja le a függvény! De ha valaki megválasztja direkt miért úgy vagy így írja, lehet árnyalatnyi jelentése, hogy a hangsúly a pozitív számok közötti függvényeken van.

1) Természetesen lehet megadni több kikötést is, ekkor értelemszerűen a kikötések metszete fog érvényesülni (az is lehet, hogy nem lesz metszetük, akkor pedig a függvény nem lesz értelmezhető egy számra sem, érdekesség viszont, hogy ettől még a függvény függvény marad). Ahogy írtam, sok esetben kellenek is az egyéb kikötések, mert az R->R csak annyit jelent, hogy valós számot KELL beírnunk a változó(k) helyére, eredményül pedig valós számot KELL kapnunk, de ez nem jelenti azt, hogy bármilyen valós szám jó lesz. Tehát az R->R inkább kizár bizonyos számokat (például C-beli, vagyis komplex számokkal nem számolhatunk), de nem zárja ki az összes rossz számot (ezért írtam, hogy szükséges feltétel, ami egyben nem elégséges; a szükséges és elégséges feltételt a további kikötésekkel tudjuk meghatározni).

2) A konkrét példánál nincs különbség. Azonban ha x+2 helyett x-2 lenne, akkor az R+->R+ esetén hiába van az x=1 R+-ban, az érték, ami -1, nincs benne, tehát az x=1 mégsem használható.

Ha arra irányult a kérdésed, hogy az R+-nál kell-e az x>=0, akkor a válasz az, hogy nem kell, mivel a két kikötés metszete R+. Ha csak R van, akkor pedig csak akkor kell, hogyha a nemnegatív valós számok halmazán akarod/kell értelmezni a függvényt, viszont ez a halmaz nem egyenlő az R+-szal, mivel a 0-t is tartalmazza.

Balról egyértelmű azt jelenti, hogy például az f(5) csak egyféle értéket vehet fel.

Például az f(x)=x^2 esetén f(5)=5^2=25.á, és más nem. Ez a függvény viszont jobbról nem egyértelmű (R->R-en), mivel a 25-öt az x=-5 esetén is megkapod. Olvass utána a szürjektív, injektív, bijektív fogalmaknak, ha jobban szeretnéd érteni.

Ahogy már többször is írtam, az R->R csak egy iránymutatás, hogy minek kell teljesülnie. Ha úgy jobban megérted, akkor a Df és az Rf halmazok az R-nek részhalmazai kell, hogy legyenek, adott esetben egyenlőek is lehetnek az R-rel (például az f(x)=x függvény esetén), de az is lehet, hogy csak egy számot tartalmaz (például az f(x)=5 konstans függvénynél hiába van R->R, az értékkészlet, vagyis az Rf csak az {5} halmaz lesz).

#8

Ezen csodálkozom, mert a sok és hosszú válaszban rengeteg összevisszaság van. Itt az ideje, hogy elővegyél egy matematikakönyvet, és megtanuld a következő fogalmakat:

- függvény

- értelmezési tartomány

- értékkészlet

- hozzárendelési szabály

- a függvény lehetséges jelölései

Ezt kéne tenni néhány válaszolónak is.