A következő kérdésre szeretnék választ kapni. Mennyi ennek a megoldása? √1-i

Mit értesz megoldás alatt?

A gyök(1)-i egy komplex szám, amely éppen megegyezik 1-i vel.

Gondolom √(1-i)-re gondolt a kérdező (annak még lenne is értelme).

Tegyük fel, hogy ez a szám komplex, ekkor a;b valós számokra

√1-i=a+bi /négyzetre emelés

1-i=a^2-2abi-b^2

Két komplex szám csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes része egyenlő, vagyis

Re(1-i)=Re(a^2-2abi-b^2) és

Im(1-i)=Im(a^2-2abi-b^2).

Remélem nem kell magyaráznom mi mit jelent. Tehát

1=a^2-b^2 és

-1=2ab

egyenletrendszert kapjuk.

A második egyenletből b=-1/(2a), ezt beírjuk az elsőbe:

1=a^2-(-1/(2a))^2

1=a^2-1/(4a^2) /*4a^2

4a^2=a^4-1 /-4a^2

0=a^4-4a^2-1

Ez másodfokúra visszavezethető: legyen a^2=x, ekkor

0=x^2-4x-1

Megoldóképletből: x1=(4+√20)/2=2+√5 (a másik nem jó, mert a valós, de a másikkal gyökvonás után nem valós számot kapunk).

Ebből a^2=2+√5, vagyis a=±√(2+√5)).

Visszaírva: b=-(1/(±√(2+√5))=(mínusz-plusz)(1/(√(2+√5))

Ez azt jelenti, hogy

√(1-i)=√(2+√5))-i*(1/(√(2+√5))

és

√(1-i)=-√(2+√5))+i*(1/(√(2+√5))

Ez az eljárás tetszőleges √(komplex) esetén használható.

Ritkán használható szépen a trigonometrikus alak. Ez az eset ilyen; ha ábrázoljuk az 1-i-t, akkor láthatjuk, hogy az origó és a szám közti szakasz 315°-os szöget zár be, a szakasz hossza √(1^2+(-1)^2)=√2, ezért a trigonometrikus alak:

√2*(cos(315°)+i*sin(315°)).

Ebbel Moivre képletével tudunk gyököt vonni:

√(√2*(cos(315°)+i*sin(315°)))=√(√2)*(cos((315°+k*360°)/2)+i*sin((315°+k*360°)/2)), ahol k értéke 0 és 1.