Hogy lehet bebizonyítani? Igazoljuk, hogy 7/2^ (5n+2) +3*5^2n

Teljes indukcióval szokás bizonyítani;

-először megnézed, hogy milyen egész n-ekre teljesül; elkezded n=0-val, aztán n=1-re, és így tovább, amíg nem találsz olyat, amire működik. Látható, hogy ez n=0-ra már igaz lesz.

Tegyük fel, hogy n-re igaz, vagyis 7|2^(5n+2)+3*5^2n, és nézzük meg, hogy n+1-re mi történik, tehát igaz-e, hogy 7|2^(5(n+1)+2)+3*5^2(n+1). A trükk az szokott lenni, hogy ezt úgy alakítjuk, hogy az indukciós feltevés megjelenjen, vagyis a 2^(5n+2)+3*5^2n, mivel erről tudjuk, hogy osztható 7-tel, így ami ezen felül marad, arról kell belátni, hogy osztható 7-tel, arról pedig általában nem nehéz belátni.

Ez esetben van a teljes indukciónál jóval könnyebb indoklás is:

n=0 könnyen ellenőrizhető

n>=1 esetén átalakítva:

4*32^n+3*25^n

ha ebből kivonunk 7*25^n-t, akkor a 7-tel oszthatóság nem változik (kongruensek):

4*32^n-4*25^n

mármost felhasználva az

a^n-b^n=(a-b)*[a^(n-1)+a^(n-2)b+...+b^(n-1)]

algebrai azonosságot, a kifejezés osztható (32-25)=7-tel, legalábbis n>=1 esetben

tehát az eredeti is osztható 7-tel az előbbiek okán

(sőt, a 28-cal való oszthatóságot is beláttuk n>=1 esetére)