Hogyan bizonyítanád be, hogy ha n egész számra n^2+1 osztható öttel, akkor az (n+1) ^2+1, és az (n-1) ^2+1 számok egyike is osztható 5-tel?

1. lépés:

Egy egész szám 5-tel osztható, ha az utolsó számjegye 5-tel osztható (0 vagy 5).

2. lépés:

0 csak úgy állhat elő, hogy n 3-ra végződik. Ekkor n^2 9-re végződik, és ekkor n^2+1 0-ra végződik a 9+1 miatt.

5 csak úgy állhat elő, hogy n 2-re végződik. Ekkor n^2 4-re végződik, és ekkor n^2+1 5-re végződik a 4+1 miatt.

3. lépés:

Ha n 2-re végződik, akkor

(n-1)^2 1-re, (n-1)^2+1 2-re. Ez nem 5-tel osztható,

(n+1)^2 9-re, (n+1)^2+1 0-ra. Ez 5-tel osztható.

Ha n 3-ra végződik, akkor

(n-1)^2 4-re, (n-1)^2+1 5-re. Ez 5-tel osztható,

(n+1)^2 6-ra, (n+1)^2+1 7-re. Ez nem 5-tel osztható.

n végződhet 8-ra is, ekkor (n-1)^2+1 0-ra végződik.

n végződhet 7-re is, ekkor (n+1)^2+1 5-re végződik.

Felírnám egymás alá, hogy

n=5k, n=5k+1, n=5k+2, n=5k+3, n=5k+4

mind az 5 sorban kiszámolnám az n^2+1-t.

Ahol osztható 5-el ott kiszámolnám a (n+1) ^2+1, és az (n-1) ^2+1-at is.

És rámutatnák, hogy az egyes esetekben az első vagy a második osztható 5-el.