Hogy tudom megállapítani, hogy páratlan a függvény?

Tegyük azért helyre a dolgokat;

Az f(x) függvény páros, hogyha minden x-re

f(x) = f(-x)

Az f(x) függvény páratlan, hogyha

-f(x) = f(-x). Akárcsak az egyenleteket ezt is lehet rendezni úgy, hogy osztunk (-1)-gyel, így ezt kapjuk:

f(x) = -f(-x), amiből gyakorlatilag az a geometriai szemlélet olvasható ki, hogy ha egy páratlan függvényt tükrözünk az y-tengelyre (belső negatív előjel) és az x-tengelyre (külső negatív előjel), akkor az eredit kapjuk vissza. Mivel a tengelyek merőlegesek egymásra, ezért ez helyettesíthető egy darab középpontos tükrözéssel, melynek középpontja a tengelyek metszéspontja, vagyis az origó.

Ezt azért írtam le, mert ebből az alakból érdemes kiindulni a legtöbb esetben.

Nézzünk néhány példát; az x^3 esetén ez a történet:

-(-x)^3 = -(-x)*(-x)*(-x) = x*x*x = x^3, láthatóan az eredetit kaptuk vissza, tehát a függvény páratlan (persze meg lehet oldani a hatványozásra vonatkozó szabályokkal is)

Az 1/x esetén:

-(1/(-x) = (-1)/(-x) = 1/x, ugyanazt kaptuk vissza.

Klasszikus példa még a 0, avagy 0*x függvény esete:

-0*(-x) = 0, ugyanaz a függvény. Ennek érdekessége, hogy egyben páros is, és ez az egyetlen R-en értelmezett függvény, amelyik egyszerre páros és páratlan.

Vannak olyan esetek, amelyeket szakaszonként érdemes megvizsgálni; például az előjelfüggvénynél:

sgn(x)=

{1, ha x>0

{0, ha x=0

{-1, ha x<0

Így ha vesszük a -sgn(-x) függvényt, akkor

-ha x>0, akkor -sgn(-x) = -(-1) = 1

-ha x=0, akkor -sgn(-x) = -0 = 0

-ha x<0, akkor -sgn(-x) = -1

Tehát ugyanazt kaptuk vissza, így ez is páratlan.

Olyan is előfordulhat, hogy algebrai úton nehézkes a levezetése, ilyen például a sin(x) függvény. Itt azt kell belátni, hogy

-sin(-x) = ... = sin(x). Itt majd valaki valószínűleg felveti a Taylor-sorfejtést, és hogy a polinomoknál tanult módon be lehet látni, hogy a két oldal egyenlő, de amíg az ember nem tud ezzel számolni, addig marad az, hogy felrajzolja azt a bizonyos egységkört, és addig sakkozik benne, amíg rá nem jön, hogy így van.