[Matematika] Bizonyítás: Minden R-en értelmezett fügv. Előáll egy páros és egy páratlan fügv. összegéből. Hogyan?

Legyen f(x) a fuggvenyunk.

Azt mondjuk, hogy f paratlan, ha f(-x)=-f(x), tehat "kikopi" a minusz elojelet.

Azt mondjuk, hogy f paros, ha f(-x)=f(x), tehat "elnyeli" a minusz elojelet.

A fuggvenyunket felirhatjuk mint f=g+h, ahol g paratlan es h paros.

A g igy nez ki: g(x)=(f(x)-f(-x))/2

A h igy nez ki: h(x)=(f(x)+f(-x))/2

Ellenorizd le, hogy g+h=f.

Mar csak annyit kell megmutatni, hogy g paratlan, illetve h paros. Ehhez a fenti definiciot hasznaljuk, tehat:

g paratlan <=> g(-x)=-g(x) (ide kell eljussunk)

g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-(f(x)-f(-x))/2=-g(x)

tehat g tenyleg paratlan.

Most hasonlokeppen h-ra is:

h paros <=> h(-x)=h(x) (ide kell eljussunk)

h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=(f(x)+f(-x))/2=h(x)

tehat h tenyleg paros.

Ezt akartuk bizonyitani