Hogyan kell meghatározni az M valós számot úgy, hogy az AB egyenes párhuzamos legyen a 2x-3y+z-7=0 egyenletű síkkal, ha A[3, -1, m]; B[2,1,3]?

Van ennél sokkal egyszerűbb megoldás is;

Írjuk be a B pont koordinátáit a sík egyenletébe:

2*2-3*1+3-7=4-3+3-7=-3, ebből az következik, hogy a B pont (sajnos) nincs rajta a síkon, pedig az lenne nekünk a jó, hogyha rajta lenne. Ezt orvosolandó, adjunk hozzá a sík egyenletében a bal oldalhoz 3-at:

2x-3y+z-4=0, ezzel egy olyan síkot kaptunk, amely az előbbivel párhuzamos. Ezen így már a B pont rajta van. Ha az A pont is rajta lenne ezen a síkon, akkor már készen is lennénk a feladattal, mivel így az AB egyenes rajta lenne azon a síkon, amely az eredeti síkkal párhuzamos, következésképp az egyenes is párhuzamos lesz az eredeti síkkal. Tehát:

2*3-3*(-1)+m-4=0, ennek megoldása m=5, tehát a keresett pont: A[3;-1;5].

Ellenőrizni úgy tudunk, hogy felírjuk az AB egyenes egyenletét, aztán megnézzük, hogy az eredeti síkkal hány metszéspontja van (egyneletrendszerbe foglaljuk az egyenleteket, és megoldjuk). Ha nem kapunk rá eredményt, akkor nincs metszéspontjuk, így csak párhuzamosak lehetnek.

A sík normálvektora n(2, -3, 1).

AB vektor (-1, 2, 3-m)

A merőlegesség miatt a fenti két vektor skaláris szorzata 0.

-2-6+3-m=0

m=-5