Hány olyan természetes szám van amelynek minden számjegy különböző?

Végtelen sok.

(megszámlálhatóan végtelen)

7 az első: 1*10^5=100000

7 az utolsó: 9*10^4*1=90000

Összesen: 190000

Biztos hogy nem végtelen. Mármint az alap kérdésnél, de a hatjegyűeknél sem.

Vegyük végig, úgy a legegyszerűbb.

1 jegyű: 1, 2, ..., 9 -> 9 db van

2 jegyű: 10, 12, 13, ..., 19 -> 9 db van

_________20, 21, 23, ..., 29 -> 9 db van

...

_________90, 91, 92, ..., 98 -> 9 db van

Tehát összesen kétjegyűből 9*9 = 84 db van.

Itt már érdemes rájönnünk a szabályra, mert az ennél több jegyűeket már sokáig tart végigvenni. Az egyjegyűeknél ugye 9 fajta volt, mert a 0 nem természetes szám. Ez idáig tiszta. A 2 jegyűeknél a legnagyobb helyiértéknek 9 fajta közül választhatok (0 nem lehet mert akkor az 1 jegyű lesz), és a legkisebb helyiértékhez is 9 közül lehet választani, mert ott már lehet a 0, de ugyan az nem lehet mint az előző jegy. Így tehát 9*9 kétjegyű van.

Három jegyűnél ugyanígy kiszámolható: az 1. számjegynek 9-et választhatok, a 2-nak is ennyit, a 3. számjegynek viszont már csak 8-at, mert addigra már 2-t felhasználtam előtte. Tehát akkor 9*9*8 ilyen van.

Négy jegyűeknél meg már nem is kell végiggondolni se, látszik hogy 9*9*8*7 ilyen van.

Öt jegyűnél 9*9*8*7*6.

Hat jegyűnél 9*9*8*7*6*5.

Hét jegyűnél 9*9*8*7*6*5*4.

Nyolc jegyűnél 9*9*8*7*6*5*4*3.

Kilenc jegyűnél 9*9*8*7*6*5*4*3*2.

Tíz jegyűnél 9*9*8*7*6*5*4*3*2*1.

Tíznél több jegyű szám pedig nincs, amire illene a kérdésben szereplő megkötés. Legalábbis a 10-es számrendszerben. Ezeket az értéket add össze, és megkapod az eredeti kérdésre a választ.

Értelemszerűen minden számrendszerben véges sok számjegy van, így véges sok olyan természetes szám van, amelyben a számjegyek különbözőek, és nem is nehéz megadni;

-egyjegyűk: 10

-kétjegyűek: 9*9

-háromjeghyűek: 9*9*8

-négyjegyűek: 9*9*8*7

-ötjegyűek: 9*9*8*7*6

-hatjegyűek: 9*9*8*7*6*5

-hétjegyűek: 9*9*8*7*6*5*4

-nyolcjegyűek: 9*9*8*7*6*5*4*3

-kilencjegyűek: 9*9*8*7*6*5*4*3*2

-tízjegyűek: 9*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Ezeket összeadod, és meg is van. Ha negatív számokat is megengedünk, akkor az összeget szorozzuk 2-vel, de le is kell vonnunk 1-et, mert a fenti szorzatban a 0 szám kétszer szerepelne.

A másik kérdés sem nehezebb;

7-essel kezdődik: 10*10*10*10*10=100.000

7-essel végződik: 9*10*10*10*10=90.000

A kettő összeadjuk. Ebből az összegből le kell vonnunk a 7....7 alakú számokat, mert ezek kétszer lettek meegszámolva, ők 10*10*10*10=10.000-en vannak. Tehát összesen 180.000 darab olyan szám van, amely 7-essel kezdődik vagy végződik (vagy mindkettő).

1 jegyű= 9db

2 jegyű=9*9=81 db

3 jegyű= 9*9*8=... db

4 jegyű= 9*9*8*7=... db

5 jegyű= 9*9*8*7*6= ...db

6 jegyű= 9*9*8*7*6*5=... db

7 jegyű= 9*9*8*7*6*5*4=... db

8 jegyű= 9*9*8*7*6*5*4*3=... db

9 jegyű= 9*9*8*7*6*5*4*3*2=... db

10 jegyű= 9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=... db

Ezeket összeadod és megkapod, hogy hány darab olyan természetes szám van amelyben minden számjegy különböző.