Határozza meg az y=9-8x+2x^2 parabola csúcsponti egyenletét, és a függvény gyökeit. (?)

A függvény gyökeit úgy kapod, hogy megoldod a

0 = 9 - 8x + 2x^2

egyenletet.

A csúcsponti egyenletről még nem hallottam, ezért utánanéztem, és ez gyakorlatilag a teljes négyzetes alakot jelenti, vagyis a*(x-u)^2+v alakban kell felírni a másodfokú kifejezést, ahol a a főegyüttható (esetünkben a=2), u és v a parabola csúcspontjának első és második koordinátája.

Mivel fent kiszámoltuk a gyököket, ezért két lehetőség van; vagy direkt felírjuk a teljes négyzetes átalakítást (ezt bármilyen másodfokú függvény esetén meg tudjuk tenni bármikor), vagy felhasználjuk, hogy a csúcspont első koordinátája a két gyöktől egyenlő távolságra van. Ez akkor lehet problémás, hogyha a parabolának nincs valós gyöke, ekkor megtehetjük például azt, hogy a parabolát függőlegesen eltoljuk, hogy metssze az x-tengelyt, így az eredeti függvényhez képest a hely nem változik, csak az érték (ha tanultunk komplex számokkal való számolást, akkor nincs probléma, mivel a két gyök egymásnak úgynevezett konjugáltja, így összeadás esetén az imaginárius részek kiesnek, az eredmény pedig valós lesz). Ha megvan az x, ami az u-val fog megegyezni, akkor a v értékét úgy kapjuk, hogy a függvénybe behelyettesítjük az u értékét, végigszámoljuk, és amit kaptunk, az lesz v értéke.

A direkt számítás így néz ki:

9 - 8x + 2x^2 = 2*(x^2-4x)+9 = 2*((x-2)^2-4)+9 = 2*(x-2)^2-8+9 = 2*(x-2)^2+1

Ebből már ki lehet olvasni, hogy az eredeti egyenletnek nem lesz megoldása a valós számok halmazán, sőt, még az is elmondható, hogy minimuma 1 lesz.

Vigyázz a szakkifejezések használatára!

A függvénynek zérushelye, kifejezésnek gyöke, egyenletnek megoldása van.