Véges szamhalmaz?? ???

A kezdés jó. Ha egy állítást bizonyítani kell, akkor érdemes az elején megnézni konkrét eseteket, és akkor abból talán valami járható sémát találunk.

Az elsőnél tegyük fel, hogy az A szám benne van a halmazban, ekkor a megadottak alapján a -A, az 1/A és a -1/A is benne van a halmazban. Látható, hogy az A számmal 4 különböző alakú szám keletkezik, a 4 pedig páros. A bonyodalom akkor kezdődik, amikor ezen 4 szám között lehetnek azonosak, így előfodulhat, hogy az a 4 szám valójában 3, vagy ne adj'Isten mindegyik ugyanakkora, akkor pedig csak 1 szám kerül a halmazba. Emiatt meg kell nézni, hogy mikornlehet egyenlőség a különböző alakú számok között;

A=1/A esetén A=1 vagy A=-1, ezekben az esetekben viszont csak két számmal bővül a társaság; ha az 1-et tesszük be, akkor a (-1)-gyel és fordítva. Nem baj, mert a 2 páros szám.

A=-A, ennek megoldása A=0, viszont a 0-nak nem létezik reciproka, tehát ez nem lehet.

A=-1/A, ez pedig nem lehet, hacsak nem engedünk meg komplex számokat is. Ha megengedünk, akkor A értéke i és -i lehet, ezek egymás ellentettjei és reciprokai, így ez a lehetőség is csak 2-vel növeli az elemszámot.

Tehát bármilyen A számot berakhatunk a halmazba, azzal együtt biztosan 2-vel vagy 4-gyel változik az elemszám, így mindig páros lesz (lévén páros számok összege mindig páros).

A másodiknál; legyen a halmaz két eleme A és B, ekkor ezekre teljesülnie kell, hogy A*B=A vagy A*B=B. Ha A=0, akkor 0*B=0 igaz, tehát az A értéke lehet 0, ekkor B értéke tetszőleges nem 0 szám (mivel abban az esetben a halmaznak csak egy eleme lenne). Ha B=0, akkor A*0=0 teljesül.

Most azt kell megnézni, hogy ha egyik sem lehet 0, tehát A=/=0 és B=/=0 esetén teljesülnie kell vagy az A*B=A, vagy az A*B=B szorzat valamelyikének. Az első szorzat csak úgy tud teljesülni, hogyha B=1, ekkor A tetszőleges 1-től különböző szám, a második pedig csak akkor, hogyha A=1, ekkor B tetszőleges nem 1 szám.

Más lehetőség nincs, tehát a kételemű halmaznak mindenképp eleme vagy a 0 vagy az 1 (vagy mindkettő).

Jók a válaszok.

1.

a eleme A és (a eleme A => -a eleme A és 1/a eleme A) => -(1/a) eleme A

-(-a)=a és 1/(1/a)=a és 1/(-a)=-(1/a) => maximum 4 elemet generál "a" ill. bármelyik elem a fenti szabállyal generálja az összes többit.

Be kell látni, hogy a, -a, 1/a, -1/a között csak páros darab egyedi érték van:

a=-a : a=0 ami nem lehet, mert nincs reciproka

a=-1/a : a^2=-1, ami egyetlen valós számra sem teljesül

a=1/a : a=1 vagy a=-1

a=1 : a=1, -a=-1, 1/a=1, -1/a=-1 => 1,-1

a=-1 : a=-1, -a=1, 1/a=-1, -1/a=1 => 1,-1

a nem= 1/a esetén a, -a, 1/a, -1/a 4 darab különböző érték.

2.

|A|=2 és (a,b eleme A => a*b eleme A) => (a nem= b => a*b=a vagy a*b=b)

a*b=a => a=0 vagy (a nem= 0 => b=1)