Egy K kör AB és CD húrjai párhuzamosak és a föléjük emelt félkörök érintik egymást a K kör belsejében. Hányad részét teszi ki a két félkör területe együttesen a K kör területének?

Tegyük fel, hogy a körben az AB és a CD párhuzamos egyenesek azonos távolságban vannak a K középpontól. Vagyis ezt azt jelenti, hogy a két félkör, amit meghatároznak és amik érinteni fogják egymást, azok megegyeznek.

Ez csak egy fajta megoldás, hogy a két félkör azonos, nyilván lehetne olyan eset is, amikor a 2 félkör különböző, mert az arányok megmaradnának de talán most így a legkönnyebb.

Tehát most ott tartunk, hogy van például egy egységsugarú körünk, amin berajzolunk két darab, egymással párhuzamos és a K középpontól egyenlő távolságban lévő húrt. (Nyilván a két húr közt van félúton a K középpont, különben így nem sok értelme lenne a feladatnak, mert akkor bármennyi lehet.)

Tehát, mivel a két darab félkör megegyezik és pont ezeknek a területe kell, ezért ha ezeket összeadjuk, akkor lesz egy kis körünk a nagy körön belül. Ezekenek az aránya kell.

Innentől kezdve több módon is megoldhatjuk a feladatot. Példaképpen kétféle módon is kiszámolom.

1.Mód(egyszerűbb)

A kör sugara bármekkora lehet, de most az egyszerűség kedvéért egy egységsugarú kört választunk. Magyarul r=1. A kör kerülete: r^2*pi.

Kezdjük a nagy kör területével. Behelyettesítve megkapjuk, hogy az pontosan "pí".

A kis kör területét a következőképpen számoljuk ki: mivel a két félkör azonos nagyságú, így a középpontban fogják érinti egymást. Viszont ha a középpontban érintik, akkor a sugara az pontosan az eredeti kör felének a fele, vagyis r=0,5. Innentől kezdve behelyettesítünk, és megkapjuk, hogy a kis kör területe az pí/4. Megoldás tehát, hogy pontosan 1/4-ed része az eredeti körnek.

2.Mód(nehezebb)

Nos egy egységsugarú kört trigonometrikus függvények segítségével paraméteres alakban is megadhatunk a következőképpen: x=sin(t) y=cos(t).

Ez maga a nagy kör. Ennek a területét ki tudjuk számítani a [-pí,pí] intervallumon vett integráljával, ami a cos^2(x). Kiszámítva az inetgrált a "pí" jön ki, csak úgy, mint az első módszerrel.

A kis kör is felírható is paraméteres alakban: x=sin(t)/2 y=cos(t)/2

Ezt a függvényt is ((cos^2(x)/4)) integráljuk a [-pí,pí] intervallumon és nem meglepő módon az jön ki, hogy pí/4. Pontosan ugyan az mint az első módszerrel.

Ezt a 2. módszert elég hosszú lett volna levezetni lépésről lépésre, de ha tudod miről van szó akkor ennyiből is megérted, ha pedig nem akkor az 1. módszer is bőven elég.

Itt készül a megoldás:

[link]