2 * 7^k + 10 miért oszható 4-gyel, ahol a k bármilyen tetszőleges természetes szám lehet?

Pedig eléggé triviális;

Ha felírod törtként: (2*7^k+10)/4, akkor egyszerűsítés után (7^k+5)/2. 7^k nyilván páratlan, 5 nyilván páratlan, összegük nyilván páros, így az összeg osztható 2-vel, tehát az eredeti 4-gyel.

Az #1 válasz úgy ahogy van, hibás! Ha k páros, a 7k szintén páros, így a 7k+5 páratlan, vagyis a gondolatmenet megbukik.

Egyébként pedig ez épp arra világít rá, hogy a kitűzött eredeti feladat hibás. Pl. k=2 esetén 2*7k+10=38, ami nem osztható 4-gyel!

#2

Az ugye megvan, hogy az nem 7k, hanem 7^k (7 a k-adikon).

Teljes indukcióval (ha ez a feladat) 2 lépésben.

1. lépés. k=1-re igaz:

2 * 7^1 + 10 = 24

2 lépés. Ha k-ra igaz, akkor k+1-re is igaz:

2*7^(k+1)+10 = 2*7*7^k+10 = 7*(2*7^k+10)-60

2*7^k+10 osztható 4-el ezért 7*(2*7^k+10) is osztható 4-el

60 is osztható 4-el.

Ha két szám osztható 4-el, akkor a különbségük is osztható 4-el.

7=2×4-1, ennek hatványai is n×4+-1 alakúak.

(-1)^k=1, ha k páros, -1, ha páratlan. Ennek duplája +2 vagy -2. +2+10=12, -2+10=8, mindkettő osztható 4-gyel.