Ebben segítene valaki?

110 azért páros, mert az értéke n^2+n=n*(n+1), ahol n a számrendszer alapszáma. És két szomszédos szám közül az egyik mindig páros.

Megoldás lehet, ha találunk egy olyan szorzatot, aminek tényezői 3 szomszédos szám, és kifejtve n minden hatványa legfeljebb 1-es szorzóval szerepel. Vagy nem szomszédosak, de biztosított, hogy az egyik 3-mal osztható.

Itt elfáradtam a gondolkodásban és abbahagytam. Valahogy errefele kellene keresgélni. Átadom a terepet a kérdezőnek.

2-es számrendszerben a 3 11, a 3-as számrendszerben 10, minden más számrendszerben 3=3.

Akármelyik számrendszert nézzük, a 10-esben tapasztalt oszthatósági szabályok megmaradnak, ami azt jelenti, hogy 2-es számrendszerben akkor osztható egy szám 10-val, hogyha 0-ra végződik, és 3-as számrendszerben akkor osztható 11-gyel, hogyha az első számjegyből kivonjuk a másodikat, hozzáadjuk a harmadikat, kivonjuk a negyediket, és így tovább, az eredményül kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredeti is.

Tehát az utolsó számjegy mindenképp 0 kell, hogy legyen, és meg kell felelnie a 11-gyel való oszthatóságnak. Ezen felül a többi számrendszerben a 3-mal való osztás szabálya az hogy a számjegyek összege osztható kell, hogy legyen 0-val.

Ilyen szám lenne az 110110110. Nézzük, hogy tudjuk-e osztani a megfelelő számokkal;

2-es számrendszer: 110110110(2) : 11(2) = 438 : 3 = 146 = 10010010(2)

3-as számrendszer: 110110110(3) : 10(3) = 9084 : 3 = 3028 = 11011011(3)

4-es és nagyobb számrendszer: legyen a számrendszer alapszáma n, ami legalább 4, ekkor írjuk át a számot 10-es számrendszerbe; ha ott osztható lesz 3-mal, akkor az eredetiben is;

110110110(n) = n^8 + n^7 + n^5 + n^4 + n^2 + n, a megfelelő csoportosítással ki tudunk emelni;

= n^7*(n+1) + n^4*(n+1) + n*(n+1) =

= (n+1)*(n^7 + n^4 + n) =

= (n+1)*n*(n^6 + n^3 + 1) =

Ha n osztható 3-mal, akkor a szorzat is.

Ha n 3-as maradéka 2, akkor (n+1) lesz osztható 3-mal, így a szorzat is.

Ha n 3-as maradéka 1, akkor az első két tényező biztosan nem osztható 3-mal, így meg kell néznünk, hogy a hamradik osztható lesz-e 3-mal. Mivel most n 3-as maradéka 1, ezért felírható n=3k+1 alakban, ahol k>=1 egész. Nézzük, hogy ezzel mit lehet kezdeni;

(3k+1)^6 + (3k+1)^3 + 1 = ... = 729*k^6 + 1458*k^5 + 1215*k^4 + 567*k^3 + 162*k^2 + 27*k + 3

Az összeg mindegyik tagja osztható 3-mal, így az egész összeg is, így pedig az eredeti szorzat, vagyis az (n+1)*n*(n^6 + n^3 + 1) is.

A fenti levezetésre hirtelen nem találtam szebb megoldást, de ez is megteszi.

Tehát sikerült találnunk egy számsort, ami az 110110110, ami számrendszertől függetlenül osztható 3-mal.

"Akármelyik számrendszert nézzük, a 10-esben tapasztalt oszthatósági szabályok megmaradnak, ami azt jelenti, hogy 2-es számrendszerben akkor osztható egy szám 10-val, hogyha 0-ra végződik, és 3-as számrendszerben akkor osztható 11-gyel, hogyha az első számjegyből kivonjuk a másodikat, hozzáadjuk a harmadikat, kivonjuk a negyediket, és így tovább, az eredményül kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredeti is."

Ezt a részét felcseréltem; 2-esben kell az 11-gyel való oszthatóságot nézni és 3-asban az 10-val. De ezt leszámítva nincs hiba.

Jobban meggondolva van triviálisabb megoldás is; 1111110, és ezzel kicsit könnyebb a levezetést megcsinálni;

1111110(n) = n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n

Ha n 3-as maradéka 0, akkor az egész összeg osztható.

Ha n 3-as maradéka 1, akkor mindenki maradéka 1, ezek összege 6, ami osztható 3-mal.

Ha n 3-as maradéka 2, akkor a maradékok váltakozva követik egymást; 2;1;2;1;2;1, ezek összege 9, ami szintén osztható 3-mal.

Tehát akármi legyen n>3, a szám mindig osztható lesz 3-mal. 3-as és 2-es számrendszerben pedig manuálisan elvégezzük az osztásokat.

Minden természetes szám 3m, 3m+1 vagy 3m-1 alakú. Ez utóbbi kettőnek a páros hatványai 1 maradékot adnak. Ezért minden olyan szám megoldás, ahol csak a páros helyeken van egyes és a számjegyek összege osztható hárommal.

A legegyszerűbb ilyen szám: 101010.