Segítene valaki?

A sakktábla 8x8-as, ezért 7-et lépünk jobbra és 7-et fel. Minden lépéssorozat leírható egyértelműen egy J-F betűkből álló betűsorral, és minden betűsor pontosan egy lépéssort jelöl, emiatt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van köztük, így ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor a másikat is. A betűsorok összesen 14!/(7!*7!)-nyian vannak, vagy rövidebben: (14 alatt a 7)-nyien.

Ha a tábla nxn-es, akkor a fenti gondolatmenet szerint a lehetőségek száma: (2n-2)!/((n-1)!*(n-1)!), vagy másként: ((2n-2) alatt az (n-1))

Az nxm-es tábla esetén: (n-m-2)!/((n-1)!*(m-1)!), vagy másként: ((n-m-2) alatt az (n-1)), vagy (n-m-2 alatt az (m-1)). Értelemszerűen minden esetben n és m értéke pozitív egész.

A válasz 8x8-s sakttáblán 3432, a levezetés attól függ, milyen képleteket ismersz.

Ha tudod használni a binomiális együtthatókat (n alatt a k), azokkal egyszerű kifejezni a megoldást.

Ugyanis világos, hogy összesen 14 lépést kell megtenni, ezen belül 7 fel, 7 jobbra lépést, tetszőleges sorrendben, és mindegyik sorrend másik útvonalat ad.

A megoldás a binomiális együtthatókkal: jelöljünk ki a 14 lépésből 7 darabot, ami felfelé lesz, vagyis válasszunk ki az 1, 2, ...14 számok közül 7 különbözőt, ezt (14 alatt a 7) = 14! /(7! 7!) = 3432 féleképpen tehetjük meg.

Amúgy ha nem akarsz geometriai úton gondolkodni, akkor a feladat ekvivalens a következővel: hányféleképpen tudunk egy sorban felírni 7 darab (egyforma) F és 7 darab J betűt? Erre a válasz persze szintén

14! /(7! 7!)

Általánosabban: ha n oszlop és m sor van, akkor vízszintesen n-1 lépést kell megtenni és függőlegesen m-1 -et, ami összesen n + m -2 lépés, a lehetőségek száma pedig

(n + m -2)! / ((m-1)! (n-1)!)

Látható, hogy a sorok és oszlopok szerepe felcserélhető: ugyanannyi lehetőség van egy 3 x 11 -es táblán, mint egy 11 x 3 -ason, illetve n = m = 8 esetén visszakapjuk a korábbi megoldást.

Ha nem tanultad a binomiális együtthatókat, akkor a bal alsó mezőbe írj egyet, utána mindegyik mezőbe az alatta és a tőle balra állő két mezőben lévő számok összegét (mert az adott mezőre csak ebből a két mezőből léphetsz, ezért ahány út ezekhez vezet, annyiféleképpen juthatsz el a kérdéses mezőre. Pl. a (2,1) mezőbe 1-et kell írni, mert alatta nincs mező ahonnan oda lehetne lépni, tőle balra pedig 1 áll. Ha ezt végigszámolod, eljutsz a jobb felső sarokba és oda 3432-t írsz.