II. Pomádé király halálosan gyűlölte elődjét I. Pomádét, ezért országában betiltotta az 1 számjegy használatát. Attól kezdve a következőképpen számoltak: 2,3,4,5,6,7,8,9,20,22,23,… Mi volt ebben a számsorban az 1998. helyen álló szám?

"kétjegyűekből 72 darab", "háromjegyűekből 648 darab (8*9*9)"

Biztos ez?

Ha nem gondolom rosszul, a keresett szám 3-mal kezdődik.

8+72+648=728, tehát 1270 számra van még szükségünk. Az első négyjegyű szám 2-vel kezdődik, ehhez képest kell még több, mint 1000-rel arrébb menni, tehát 3-assal kell minimum kezdődnie.

Voltaképpen ez egy 9-es számrendszer, csak egy kicsit fura, mert a 0-nál nagyobb számjegyek egyel el vannak tolódva.

9-es számrendszerben az 1998-dik szám értéke a 10 alapú 1998-nak felel meg. 9-es számrendszerbeli megjelenése: 2660. Ha a 0-nál nagyobbakat egyel eltoljuk, akkor 3770.

Nézzük másképp;

Odáig már eljutottunk, hogy "talán" 3000-nél nagyobb, de 4000-nél kisebb a keresett szám. Nézzük meg, hogy 3999-ig hány számot tudunk találni;

-az első számjegy lehet: 0;2;3, tehát 3 lehetőség van.

-a második számjegy az 1-en kívül lehet bármi, tehát 9 lehetőség van.

-a harmadikra és a 4.-re is 9-9 lehetőség van.

Összesen tehát 3*9*9*9=2187 darab számot tudunk megszámolni, ami nem tartalmaz 1-est. Ebben benne van a 0000, vagyis a 0 szám is, ezt le kell vonnunk, tehát 2186 darab szám van, amiben nincs 1-es, tehát valóban 3000 és 4000 között kell annak a számnak lennie, ami az 1998-dik.

Most nézzük meg azt, hogy ha visszafelé számolunk, akkor hogyan tudunk eljutni az 1998-ig. Mivel most visszafelé haladunk a 2186-dik számtól, ezért arra van szükségünk, hogy mennyit kell visszaszámolnunk. Amikor számokat számolunk, akkor gond szokott abból lenni, hogy ha kivonjuk a két számot, akkor nem azt kapjuk, amit kapni akarunk. Például ha az lenne a kérdés, hogy 5-től kezdve 10-ig bezárólag hány egész szám van, akkor nem elég csak annyi, hogy 10-5=5, mert az 5;6;7;8;9;10 számok 6-an vannak. Ezen csapdába való bekerüléshez írjunk fel egy táblázatot aszerint, hogy hányat lépünk a 2186-dik sorszámú számról:

0-t lépünk: 2186. sorszámú szám

1-et lépünk: 2185. sorszámú szám

2-t lépünk: 2184. sorszámú szám

3-at lépünk: 2183. sorszámú szám

Azt vegyük észre, hogy ha a lépések számát összeadjuk a sorszámmal, mindig 2186-ot kapunk. Ez persze nem véletlen, mert az egyiket mindig 1-gyel növeljük, a másikat 1-gyel csökkentjük, így összegük mindig ugyanannyi kell, hogy legyen. Ez alapján itt tartunk:

x-et lépünk: 1998. sorszámú szám. A fentiek szerint x+1998=2186, így pedig x=188-at kapjuk, tehát 188-at kell leszámolnunk. Ebben az esetben tehát működött volna az, hogy egyszerűen kivonjuk egymásból a 2186-ot és az 1998-at.

Magyarán csak annyi a dolgunk, hogy összeszedünk visszafelé 188 darab számot, és a 188. a keresett szám.

Azt már az elején leszámoltuk, hogy hány szám van 1-től 99-ig, amik nem tartalmazzák az 1-es számjegyet: 8+72=80, de ehhez vegyük hozzá a 00 számot is, tehát 81-esével tudunk visszafelé lépni;

-Ha 81-et lépünk vissza, akkor a 3900-ra jutunk,

-ha újabb 81-et, akkor már a 3800-ra jutunk, eddig léptünk 162-t,

-tehát már csak 26 lépést kell megtennünk, ezt akár le is számolhatjuk manuálisan:

99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, 92, 90 (9)

89, 88, 87, 86, 85, 84, 83, 82, 80 (9)

79, 78, 77, 76, 75, 74, 73, 72 (8)

Tehát számításaim alapján az 1998-dik szám a 3772 lesz. Mivel ez közel van a #4-es válaszához, ezért a két számítás közül valamelyik biztosan jó lesz, csak valamelyikünk számítása egy lépésnél elcsúszik. Nekem már késő van ahhoz hogy a hibát megtaláljam, de majd gondolkodom rajta.

3999 a 9-es számrendszerben 2888, 10-esben 2186, tehát szerintem is a 2186-odik.

3900 a 9-es számrendszerben 2800, 10-esben 2106, tehát az én számolásom alapján a 2106-odik. Ami 80 visszalépés. Szerintem itt lesz az eltérés.

3800 a 9-es számrendszerben 2700, 10-esben 2025, tehát az én számolásom alapján a 2025-ödik.

És akkor innen 27 lépést kell leszámolni.