Trigonometria értelmezési tartománya?

Mindig azt, ami meg van adva.

A gond az, hogy a tg(x)=1/ctg(x) és fordítva nem mindig igaz, tehát ha az egyenlet megoldása ott van, ahol ezek nem egyenlőek, ott problémák lesznek. Ezért van az, hogy a tg(x)=0 egyenletnek van megoldása, az 1/ctg(x)=0 egyenletnek meg nincs.

Amikor ismeretlennel osztunk, akkor mindig meg kell nézni, hogy lehet-e 0, és ha lehet, akkor mi történik az egyenletben. Kicsit egyszerűbb egyenleteken mutatom meg;

1. x*(x+3)=0

Mielőtt itt x-szel osztanánk, nézzük meg, mi van akkor, hogyha x értéke 0 (ugyanis ha 0 lenne, nem tudnánk vele osztani): ha x=0, akkor 0*(0+3)=0, tehát az egyenlőség igazzá válik. Ha ettől eltérő megoldást keresünk (tehát x=/=0 az osztás után), akkor osztás után x+3=0, amire x=-3 adódik, tehát az egyenletnek két megoldása van.

2. x*(x+3)=5

Ebben az esetben ha x-szel osztunk, akkor megint megnézzük, hogy mi történik; ha x=0, akkor 0*3=0, ami nem 5, tehát gond nélkül kivághatjuk az értelmezési tartományból az x-et, és haladhatunk tovább. Bár megjegyzem, hogy ennél a példánál nincs sok létjogosultsága az x-szel való osztásnak.

3. (x-1)*(x^2-1) = 0

Ebben az esetben ha (x-1)-gyel osztanánk, akkor x=1 esetén lennének bajok, viszont látjuk, hogy az megoldása az egyenletnek. Osztás után ezt kapjuk:

x^2-1=0, aminek megoldása x=1 és x=-1. Itt most újra megkaptuk az x=1-et, ami menet közben kizártunk, de nem baj, mert már az elején megoldás volt, akkor a végén mindegy, hogy kijött újra.

A te esetedben is ugyanaz a helyzet; mielőtt osztanál egy ismeretlent tartalmazó kifejezéssel, először megnézed, hogy mi van, ha az 0, aztán ha megoldást kapsz, akkor az megoldás lesz, és azt nélkülözve folytatod az egyenlet megoldását, ha meg nem, akkor meg mindegy is, hogy benne van-e az értelmezési tartományban az az eset, vagy sem.

Tehát a te esetedben nézzük meg, hogy ha tg(x)=0, akkor 0*bármi=0, ami nem 1, tehát az x=0+k*pi is nyugodt szívvel kipakolható az értelmezési tartományból, és a "maradékkal" folytatható az egyenletmegoldás.

Aztán ha osztás után az 1/tg(x)-et ctg(x)-re akarod átírni, akkor pedig az a helyzet, hogy már a pi/2+k*pi korábban ki lett zárba, tehát az átalakítás után sem írhatod be a helyére, annak ellenére, hogy a ctg(pi/2) egyébként értelmes lenne.

Összegezve:

-először megnézed, hogy alaphelyzetben mire kell kikötést írni,

-ezután, ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel akarsz osztani, akkor megnézed, hogy ha annak értéke 0, akkor mi lesz az egynelettel,

-aztán az osztás miatt leszűkített értelmezési tartományban keresed a további megoldásokat. Viszont észben tartod, hogy a lépések során NEM BŐVÜLHET az értelmezési tartomány, csak esetleg szűkülhet.

"Tehát a 3x-pi/5 re is kell kikotest tennünk hogy nem lehet 0."

Nem kell kikötést tennünk, mivel a tg() értéke minden további nélkül lehet 0, semmilyen műveletet nem sért.

Akkor KELLENE rá kikötést írnunk, hogyha OSZTANI szeretnénk vele. Amíg ez nem történik meg, senkinek semmi baja nem lesz attól, hogyha a 0-t felveszi értéknek.