1+1=2 bizonyítását el tudná valaki magyarázni?

A Peano-aritmetika szerint:

Felhasznált definíciók:

1 ≝ S(0)

2 ≝ S(S(0)) = S(1)

(Ahol S a rákövetkezés egyváltozós függvénye.)

Felhasznált axiómák:

3. ∀x(x+0) = x

4. ∀x∀y(x+S(y)) = S(x+y)

1+1 = 1+S(0)

A 4. axióma alapján:

1+S(0) = S(1+0)

A 3. axióma alapján:

S(1+0) = S(1)

A 2 definíciója miatt:

S(1) = 2

Elsőnek azt kell megérteni, hogy az általánosan a természetes számok axiómarendszerének használt Peano-féle axióma rendszer némileg máshogy közelíti meg a természetes számokat, mint ahogy azt az ember intuitív módon érzi, érti, megtanulja óvodás, kisiskolás korában. Mi a hétköznapi életben úgy alapvetően a számokat, azok sorrendjét tanuljuk meg, aztán az összeadás stb…. A szukcesszió (rákövetkezés), mint művelet nem nagyon jelenik meg. Az ember persze érzi, hogy van ilyen, de nem biztos, hogy tudatosan meg is fogalmazza, nevezetesen az, hogy egy számnak van egy rákövetkezője, a 4 után jön az 5, a 823 után jön a 824.

A Peano-féle axiómarendszer viszont igyekezett az amúgy addig már rengeteg összefüggést feltáró aritmetikát a legelemibb, legtriviálisabb gyökereiig visszafejteni és ezekből felépíteni egy matematikai szempontból egzakt axiómarendszert.

> S(0)=1 jelentése hogy az S függvény értéke a 0. pontban 1.

Az S a rákövetkezés műveletét fejezi ki. Az 0 után következik az 1, azaz S(0)=1. Az 1 után következik a 2, azaz S(1)=2. Az S(S(0)) azt jelenti, hogy a 0 után következő szám után következő szám.

Ha a hétköznapi tudásunkból közelítjük meg, akkor definiálható úgy az S(x) függvény, hogy:

S(x) := x+1

A Peano-aritmetikában viszont fordított a viszony. Az S(x) függvény vagy művelet az, ami adott, meg pár axióma, amiből aztán le lehet vezetni azt, hogy:

S(x) = S(x+0) = x+S(0) = x+1

~ ~ ~

> ∀x(x+0) = x ez miért nem x²

Nem nagyon szeretnék bővebben belemenni a formalizmusba, így csak a konkrét esetet nézve ez a kifejezés azt jelenti, hogy:

∀x … {Bármelyik/mindegyik x-re igaz az, hogy …}

(A ∀ az angol any (bármelyik) szó kezdőbetűje a feje tetejére állítva. A „testvére” a ∃, ami az exists (létezik) szó kezdőbetűjéből származik.)

… (x+0)=x {… x-hez nullát adva az eredmény egyenlő x-szel, máshogy megfogalmazva a nullával (jobbról) való összeadás hatástalan, a nulla jobb oldali additív neutrális elem.}

Szóval a tagolás az ez:

(∀x) ( x+0=x )

Magyarán: Bármelyik x-re igaz, hogy nullát adva hozzá x-et kapunk.

De mivel az értelmezés általában véve egyértelmű a zárójelek nélkül, így nem is szokás ezt így zárójelezni.

~ ~ ~

Ha nagyon hétköznapi nyelven akarjuk leírni, akkor az #1-es válaszom értelme ez:

Felhasznált definíciók:

Az 1 legyen az a szám (így egy függőleges és egy kisebb ferde vonallal jelölve), ami a 0 után következik.

A 2 legyen az a szám, ami az 1 után következik. Azaz legyen az a szám, ami a 0 után következő szám után következik.

Felhasznált axiómák:

3. Bármelyik x-re igaz, hogy ha nullát adunk hozzá, akkor az eredmény x-szel lesz egyenlő.

4. Ha egy x számhoz hozzáadjuk az y után következő számot, akkor az eredmény megegyezik a két szám (x és y) összege utáni számmal.

Egy meg egy (az 1 definíciója miatt) egyenlő az egynek és a nulla után következő számnak az összegével.

A 4. axióma miatt ez egyenlő az egy és a nulla összege után következő számmal.

A 3. axióma miatt ez egyenlő az egy utáni következő számmal.

A kettő definíciója miatt ez egyenlő a kettővel (hiszen az az egy után következő szám).