Valaki aki okos, el tudná magyarázni? (villamosságtan)

Illetve ennek a speciális esete sem teljesen tiszta, mikor komplex konjugált párt kapunk a sajátértékekre:

[link]

De pont az van a leírásban, hogy:

"Jelen speciális feladatban, ha valóban csak a kondenzátor feszültségét kívánjuk kiszámítani, megúszhatjuk a sajátvektorok kiszámítását, ha figyelembe vesszük, hogy az ÁVL alapján (I = C*(U)')"

Ezt a második kép közepe körüli szövegnél írja.

És a feladatban ki is hagyja a szabad összetevő számításánál a sajátvektorokat az egyenletből.

Azt értem amit írtál, hogy általában ki kell számítani őket, viszont itt ebben a feladatban azt írta, hogy nem kell és ezt nem értem, hogy itt miért nem kell meghatározni őket?

Nem teljesen értem amit írtál.

Azt hogy érted, hogy "a második komponensét az első komponensből származtatják"?

Illetve az sem teljesen tiszta, hogy miért lehet I=C*dU/dt képletet használni a sajátvektorok kiszámolása esetén?

Mert azt írta a szöveg, hogy "amennyiben tényleg csak a kondenzátor feszültségét kívánjuk kiszámítani, akkor megúszhatjuk a sajátvektorok számítását".

Vagyis ha mást kellene meghatározni, vagy nem csak a kondenzátor feszültségét, akkor elvileg kellene sajátvektort számolni, de itt, amikor csak a kondenzátor feszültsége a kérdés, ekkor miért lehet simán I=C*dU/dt használni a sajátvektorok helyett?

Elolvastam a dokumentumot mégegyszer amit küldtem.

Szerintem rájöttem.

Ugye a szabad összetevő, mivel most másodrendű a hálózat, ezért ilyen az alakja:

xf = K1*m1*e^(λ1*t) + K2*m2*e^(λ2*t), ahol λ1 és λ2 az "A" mátrix sajátértéke, míg m1 és m2 az "A" mátrix sajátvektora.

ugye így vektor alakban is fel lehet írni:

(Uc, IL) = K1*(m11, m12)*e^(λ1*t) + K2*(m21, m22)*e^(λ2*t)

A sajátvektorokat ki lehet számítani úgy, hogy pl. az első koordinátát 1-nek választjuk, azaz:

(Uc, IL) = K1*(1, m12)*e^(λ1*t) + K2*(2, m22)*e^(λ2*t)

De ezt fel lehet írni egyenlet formájában, 2 egyenlettel:

Uc = K1*1*e^(λ1*t) + K2*1*e^(λ2*t)

IL = K1*m12*e^(λ1*t) + K2*m22*e^(λ2*t)

És ebből látszik, hogy az Uc egyenletében, mivel a sajátvektorok 1. koordinátáit 1-nek választottuk így nem is szerepelnek a sajátvektorok, helyettük egy konstans 1 van.

És ugye a feladatban csak a kondenzátor feszültsége a kérdés, tehát az IL áram szabadösszetevője nem kell nekünk, elég csak az Uc feszültség szabadösszetevőjét meghatározni ahhoz, hogy a feladat végén meghatározhassuk majd az Uc feszültség teljes időfüggvényét.

Tehát ha csak az Uc-t kell kiszámítani, az Uc egyenletében a sajátvektorok 1. koordinátája fog szerepeni, és ha a sajátvektorok 1. koordinátáját konstans 1-nek választjuk, akkor nem fog sajátvektor szerepelni az egyenletben, csak egy konstans 1-es szorzó.

Jól értem, erről van szó és ezért nem kell a sajátvektorokkal bűvészkedni?

A "(Uc, IL) = K1*(1, m12)*e^(λ1*t) + K2*(2, m22)*e^(λ2*t)"

sort elrontottam ott a 2-es helyett 1-et akartam írni, így:

(Uc, IL) = K1*(1, m12)*e^(λ1*t) + K2*(1, m22)*e^(λ2*t)

Azt nem kell, a feladat azt írja, hogy a rendszer gerjesztése az Us, és a válasz az kondenzátor Uc feszültsége, tehát csak a feszültséget kell meghatározni.

De amúgy ha kérdés lenne, akkor a kondenzátor karakterisztikájából, ugye 2 van neki:

Ic = C * Uc' (ahol Uc' a feszültségének az időszerinti deriváltja, így megkapható az árama)

A másik pedig:

Uc = 1/C * (-végtelentől t-ig integrál)Ic dt

Tehát ha az áram is kérdés lenne akkor csak behelyettesíteném a kapott feszültséget az Ic = C * Uc' képletbe