A számnak a reciproka mit jelent?

"#6, az oké, hogy ez a szabály, de miért ez a szabály? Miért nem teljesen máshogyan kell számolni?"

Mert a matematika úgy épül fel, hogy van egy valós vagy elméleti "valami", amit modellezni szeretnénk, ekkor megfigyeléseket teszünk az adott "valamivel" kapcsolatban, hogyan működik. Meghatározunk alapvetéseket (axiómákat), melyeket alapvető tényeknek veszünk, és nem is bizonyítjuk őket. Majd szintén a vizsgált "valamit" megfigyelve definíciókat alkotunk az alap axiómákat felhasználva.

2 nagyon fontos elvárás van ezzel a rendszerrel kapcsolatban:

Amikor egy axiómarendszert felépítünk, akkor törekednünk kell arra, hogy ezek az alap tények azt tükrözzék, amit megfigyelünk. A másik nagyon fontos feltétel: az axiómák ne legyenek egymással ellentmondásban.

Na már most jelen pillanatban a számokról beszélünk, számokkal kapcsolatos axiómákról (alap tényekről). Amikor ez felépül, a kezdetektől az egész számoktól nézve, akkor ilyen dolgokat gondolj alap axiómáknak pl. elvárjuk, hogy "minden egész számnál létezik nagyobb egész szám". Ezt nem bizonyítjuk, azt mondjuk rá, hogy ezt várjuk el, mert a megfigyelés és a józan ész ezt diktálja.

Felépülnek az egész számok axiómákból. Majd definiáljuk a műveleteket, annak megfelelően, amit a megfigyelés szerint elvárunk tőlük, elsőként az összeadást és a szorzást. Nem nehéz elgondolni ezektől mit várunk el, mit tekinthetünk alap tényeknek, amik a megfigyeléseinket tükrözik, ilyen pl. hogy ha az egyik számot hozzáadom vagy összeszorzom a másik számmal, akkor ugyan annyit kapjak eredménynek, mintha a másodikat adtam volna hozzá vagy szoroztam volna az elsővel. Ehhez hasonló axiómák sorát leírjuk (igazoljuk hogy nincs benne ellentmondás, a matematikusok széles köre egyetért vele, hogy megfelelnek a megfigyeléseinknek) és ezután elkezdünk további műveleteket definiálni, mint pl. a kivonás és az osztás.

Itt leszögezem, hogy bármit definiálhatnánk kivonásnak és osztásnak, csak akkor nem állna összhangban azzal, amit elvárunk. Ezért fordítva működik, végiggondoljuk mit várunk el tőle: az osztástól azt várjuk el, hogy ha egy számot elosztunk valamennyivel és utána ugyan ennyivel visszaszorozzuk, akkor magát a számot kapjuk. Pl. ha egy tortát szétosztunk 5 felé egyenlő szeletekkel, utána ők 5-en egymás mellé teszik a kapott szeleteiket, akkor ugyan azt a tortát kapjuk vissza, amiből kiindultunk.

Ezt definíció szerint úgy tudjuk megfogalmazni, hogy van egy A kiinduló számunk ezt "osztjuk" valamivel (itt még nem tudjuk mit tekintünk osztásnak igazából), majd ugyan ezzel vissza szorozzuk és visszakapjuk az A számunkat:

A*x'*x=A, itt az x az a szám amivel szorzunk, az x' pedig amiről nem tudjuk hogyan alakul, ezt átrendezve megkapjuk a #10-es által említett képletet: x'*x=1 <= tehát ezt várjuk el attól a számtól, amit multiplikatív inverzként (reciprokként) várunk.

Az "1/" jelentése viszont már definíció, így definiáljuk a fentit felhasználva: 1/x:=x'. Tehát ha felírjuk, hogy 1/x, akkor definíció szerint azt a számot várjuk, amit úgy kapunk, hogy x-el szorozva 1 az eredmény.

A fentiek alapján ugyan egyből következik, hogy A*x'*x=A, akkor A/x definaíció szerint egyenlő A*(1/x), ami definíció szerint egyenlő A*(x') tehát az osztás a multiplikatív inverzzel való szorzás.

#12

Mert a testaxiómákon felül van definiálva egy osztás művelet, az pedig definíció szerint a multiplikatív inverzzel való szorzást jelenti.

Szóval röviden: ha amit az előbb leírtam az parasztvakítás neked, akkor a válaszom számodra: "há' azé' mer'! Használd így, mert akkor fog kijönni a matek. Inkább ne kérdezz, hanem csináld!". Így érthetőbb? :)

Én csak gondoltam leírom mi az alapelgondolás mögötte, mert találkoztam már olyan középsulissal, aki ezt így megértette, mert érdekelte.

Ha a mögöttes matematikai háttérre és elgondolásra nem vagyunk kíváncsiak, akkor meg sok mindenre az az egyszerű és rövid válasz, hogy "azért mert ez így jó, fogadd el".

#15, egyáltalán nem ez az alapelgondolás mögötte...

Felteszem, hogy a törtszámok egymással való oszthatóságára előbb volt igény, mint a reciprok meglétére, a reciprok megszületése sokkal inkább ebből ered.

De ha a reciprok meglétéből akarjuk a törtekkel való osztást bizonyítani, akkor nyilván úgy is lehet. Csak kérdés, hogy ezt a levezetést megértik-e sokan, illetve rögtön feladod-e a magyarázatot, ha azt látod, hogy mégsem érti az adott ember.