Van olyan módszer amivel meglehet határozni, hogy ha egy vektort levetítek akkor annak mik lesznek az új koordinátái?

Közben én is találtam egy képletet.

De nem tudom, hogy jó-e, de eddig mindegyik vetítés kijött vele.

Legyen "v" az amire vetítünk, ez most legyen v = (2,1).

Vesszük a hosszát: |v| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5)

Majd ennek vesszük a reciprokát: 1/|v| = 1/sqrt(5)

És ezt beszorozzuk ezzel v(x,y)*v

Azaz 1/|v|*v(x,y)*v

Ahol "v" az (2,1)

v(x,y) pedig (2x+1y)

Azaz egyben:

1/sqrt(5)*(2x+1y)*(2,1)

(2x+1y)*(2,1)-nél amikor 2-vel szorzom, akkor:

2*2x + 2*1y = 4x+2y

amikor az 1-el, akkor pedig:

1*2x + 1*1y = 2x + 1y

Azaz az eredmény végül ez lesz:

1/sqrt(5)*(4x+2y, 2x+1y)

Vagyis:

(4/sqrt(5), 2/sqrt(5)), ez lesz az (1,0) bázisvektor vetülete, ha a v = (2,1)-re vetítem

(2/sqrt(5), 1/sqrt(5)), ez lesz az (0,1) bázisvektor vetülete, ha a v = (2,1)-re vetítem

Találtam rá egy egyszerű képletet ami hasonlít arra amit leírtam:

[(a*b)/(|b|^2)] * b

ahol

a: a vektorom amit vetíteni akarok

b: pedig a vektor amire vetítek

azaz ha a (0,1)-et akarom a (2,1)-re vetíteni, akkor:

a = (0,1)

b = (2,1)

ezeket a képletbe behelyettesítve:

[((0,1)*(2,1))/|(2,1)|^2] * (2,1)

Ahol

(0,1)*(2,1), skaláris szorzat eredménye az 0*2+1*1 = 1

|(2,1)|^2, amire vetítek annak a hosszának a négyzete az (sqrt(2^2 + 1^2))^2 = sqrt(5)^2 = 5

vagyis 1/5 * (2,1), tehát a vetület az (2/5, 1/5) lesz