Hogy bizonyítod?

1) Szerkesszünk egy tetszőleges háromszöget.

2) A c oldalt hosszabbítsuk meg a (szokásos jelölés szerinti) A csúcson keresztül.

3) Szúrjuk be a körzőnket a C csúcsba, mérjük fel vele az a (vagyis a CB) oldalt, majd metsszük el az előbbi meghosszabbítást, legyen ez az B' pont, és ezt kössük össze a C csúccsal. Ezáltal keletkezik egy AB'C háromszög, amelyik minden feltételnek megfelel.

4) Ezzel egyidőben viszont keletkezik egy BB'C háromszög is, amely egy egyenlő szárú háromszög lesz. Mivel ennek a B-nél fekvő szöge megegyezik az eredeti háromszög szögével, ezért ennek a szöge is β lesz, és mivel egyenlő szárú (a BB' az alapja), ezért a B' csúcsnál lévő szög is β kell, hogy legyen, ez pedig az AB'C háromszög β' szögével egyezik meg, tehát β=β'.

Természetesen ezek a lépések bármilyen háromszögre működnek, tehát mindig igaz lesz.

Kicsit elhamarkodott volt a válaszom (mentségemre szóljon, hogy már eléggé késő volt). A gond az, hogy vettem egy rossz példát, amire jól működött a fenti gondolatmenet, és nem diszkutáltam.

A probléma azzal van a fenti gondolatmenetben, hogy csak akkor működik, hogyha a>b. Ha egyenlőek, vagy fordítva van a reláció, akkor másik megoldást kell keresni. És ez válasz a #2 kérdésére, ugyanis ha az a és c oldalak merőlegesek egymásra, akkor a b oldal az átfogó lesz, ami biztosan a leghosszabb, tehát b>a lesz.

Abban az esetben, hogyha az a>b nem teljesül, akkor ilyen háromszögek nem léteznek. Ezt algebrailag könnyen meg lehet mutatni;

1) Ha a=b, akkor α=β. A másik háromszögben így α' és β szögeknek kell lenniük az állítás szerint, viszont tudjuk, hogy bármely (sík)háromszögben a belső szögek összege 180° kell, hogy legyen, amiből az is következik, hogy a két szög összege kisebb kell, hogy legyen 180°-nál, vagyis

α'+β < 180°

Mivel α+α'=180°, ezért α'=180°-α, így

180°-α+β < 180°, erre rendezés után β<α adódik, ami ellentmondás, mivel eredetileg α=β volt.

2) Ha a<b, akkor α<β. A másik háromszögben így α' és β szögeknek kell lenniük az állítás szerint, viszont tudjuk, hogy bármely (sík)háromszögben a belső szögek összege 180° kell, hogy legyen, amiből az is következik, hogy a két szög összege kisebb kell, hogy legyen 180°-nál, vagyis

α'+β < 180°

Mivel α+α'=180°, ezért α'=180°-α, így

180°-α+β < 180°, erre rendezés után β<α adódik, ami ellentmondás, mivel eredetileg α<β volt.

Tehát az állításban szereplő háromszögek csak akkor léteznek, hogyha a>b, azokra pedig igaz az első válaszban leírt gondolatmenet.