Ha a,b,c pozitív valós számok akkor...?

Ennél sokkal egyszerűbben is kijön a számtani-mértanival;

Osztunk 4-gyel:

abc = (1+a+b+c)/4

A jobb oldalt tudjuk "csökkenteni" (illetve nem növelni) akkor, hogyha a jobb oldalt lecseréljük a mértani középre:

abc >= negyedikgyök(1*a*b*c), vagyis

abc >= negyedikgyök(abc), itt negyedik hatványra emelünk:

(abc)^4 >= abc, osztunk abc-vel (ami biztosan pozitív):

(abc)^3 >= 1, végül köbgyököt vonunk:

abc >= 1, készen vagyunk.

Legyen d=1. Ekkor

: abcd = (a+b+c+d)/4

azaz a számok szorzata az átlagukkal egyenlő.

De tudod hogy a 4 szám szorzatának 4-ik gyöke kisebb, mint az átlaguk:

: (abcd)^1/4 <= (a+b+c+d)/4

ami csak úgy lehet, ha az átlag nagyobb mint 1, és így a szorzat is, QED.

4-ik gyök helyett talán jobb 4-ik hatványt mondani, azt ismeri mindenki hogy 1-nél nagyobból nagyobbat, 1-nél kisebből meg kisebbet csinál. Tehát adott 4 szám hogy

: abcd = (a+b+c+d)/4.

A számtani-mértani miatt

: abcd <= ((a+b+c+d)/4)^4

így

: abcd <= abcd^4

tehát

: abcd >= 1.