Milyen kapcsolat van két pozitív szám számtani és mértani közepe között? Ismertesse a valós számok pozitív egész kitevőjű hatványának definícióját!

A számtani közép mindig nagyobb-egyenlő, mint a mértani. És akkor és csak akkor egyenlő, ha a két szám egyenlő. (Ez egyébként bármennyi számnál igaz.)

+beírod google-ba és az első találat rögtön felvilágosít...

(√a - √b)² ≥0

ezért

a-2√(ab) + b ≥ 0

vagyis

a+b ≥ 2√(ab)

(a+b)/2 ≥ √ab

A számtani közep tehát mindíg ≥ a mértani középpel.

Egyenlőség akkor állhat fenn a két közép között, ha a fenti levezetésben végig egyenlőség van, tehát ha (√a -√b)² = 0

ami azt jelenti, hogy a=b.

Egy kis színes kiegészítés az első feladathoz.

Legyen

A - a számtani

G - a mértani

H - a harmonikus

közepe két számnak.

Mivel

A = (a + b)/2

G = √(ab)

és

H = 2ab/(a + b)

kicsit átrendezve

H = ab/[(a + b)/2]

vagyis

H = G²/A

ill

H*A = G²

amiből

G = √(H*A)

ami azt jelenti, hogy két szám mértani közepe a két szám harmonikus és számtani közepének a mértani közepe. :-)

DeeDee

*******