Hány olyan háromjegyű természetes szám van amelyekben a számjegyek összege 7? Válaszodat indokold!

106, 115, 124, 133, 142, 151, 160,

205, 214, 223, 232, 241, 250

304, 313, 322, 331, 340,

403, 412, 422, 430,

502, 511, 520,

601, 610,

700

Bocs!

106, 115, 124, 133, 142, 151, 160,

205, 214, 223, 232, 241, 250

304, 313, 322, 331, 340,

403, 412, 421, 430,

502, 511, 520,

601, 610,

700

Egy lehetsége megoldás az, hogy összeszeded az eseteket, ahogyan azt fent láthatod. Viszont az összeszedett esetekből léthatod, hogy valamilyen séma alapján könnyebben is meg lehet adni ankeresett számot;

-Ha az első számjegy az 1-es, akkor a másik két számjegy összege 6 kell, hogy legyen. A maradék két helyen az első helyre 7-féle számjegyet tudsz tenni 0-tól 6-ig), a másoik helyre pedig csak 1-et, mivel ha az előbbi helyre tettél egy számot, akkor ahhoz csak egyféleképpen tudsz hozzáadni egy másikat úgy, vogy pont 6 legyen az összeg. 7*1=7, tehát 7 ilyen szám van.

-Ha 2-essel kezdődik, akkor a maradék összege 5 kell, hogy legyen. A fenti gondolatmenetet követve itt 6*1 = 6 lehetőséget tudunk megszámolni.

És így tovább tudjuk folytatni a sort, az eredményeket pedig csak össze kell adnunk.

Másik lehetőség, hogy észrevesszük, hogy minden szám jellemezhető egy kódsorral; például a 241 szám a oo|oooo|o kódsorral egyértelműen megadható (vagyis csak ezt a számot kódolja a kód), és ez fordítva is igaz, például a ooooo||oo kódból egyértelműen kiolvasható az 502-es szám. Ez azért jó, mert így a számok és a kódok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van, vagyis ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor a másikat is. A kódokban közös, hogy mindegyik pontosan 2 darab | jelet és pontosan 7 darab o jelet tartalmaz. Kis szépséghiba a történetben, hogy például a 025 számot a |oo|ooooo kódsor megadja, ez viszont nekünk nem jó, mert 0-val kezdődik. Ezt kiküszöbölve azt mondjuk, hogy a kódnak mindenképp legalább 1 darab o-val kezdődnie kell, tehát ezt fixáljuk, a maradékot pedig elég csak ismétlésesen permutálnunk;

8!/(2!*6!) = 28, tehát 28 darab jó szám van, ami pont annyi, mint a fenti felsorolásban látható számok száma.