Hány különböző valós gyök van az x^5-7x^4+12x^3-7x^2+x=0 egyenletnek? A:1 B:2 C:3 D:4 E:5

Először is látjuk, hogy az x=0 triviális megoldása a feladatnak. Ha ettől eltérő megoldást keresünk, akkor osztunk x-szel:

x^4-7x^3+12x^2-7x+1=0

Amit ezzel kaptunk, az egy úgynevezett szimmetrikus negyedfokú egyenlet. Azért nevezzük így, mert az együtthatók (1, -7, 12, -7, 1) szimmetrikusan állnak. Az ilyen jellegű negyedfokú egyenleteknek van egy speciális megoldási módjuk. A trükk az, hogy ebből egy másodfokúra visszavezethető egyenletet fogunk kapni;

Látható, hogy itt x=0 nem megoldás, ezért osszunk x^2-tel:

x^2 - 7x + 12 - 7/x + 1/x^2 = 0, majd kicsit rendezzük át a tagokat:

x^2 + 1/x^2 - 7x - 7/x + 12 = 0, illetve emeljünk ki (-7)-et a 3. és a 4. tagból:

x^2 + 1/x^2 -7*(x + 1/x) + 12 = 0

Most jön a trükk; legyen x + 1/x = z, és ezt át tudjuk úgy alakítani, hogy x^2 + 1/x^2 megjelenjen; emeljük ezt az egyenletet négyzetre:

(x + 1/x)^2 = z^2, a zárójelet MEGFELELŐEN kibontva:

x^2 + 2 + 1/x^2 = z^2, innen pedig

x^2 + 1/x^2 = z^2-2

Ennek fényében az összes x-et le tudjuk z-re cserélni, így ezt az egyenletet kapjuk:

z^2 - 2 -7*z + 12 = 0, vagyis

z^2 - 7z + 10 = 0, ez pedig egy másodfokú egyenlet gyönyörű megoldásokkal; z=2 és z=5.

Most z helyére írjuk vissza azt, amit eredetileg jelölt, így további két másodfokú egyenletet fogunk kapni;

x + 1/x = 5, ennek van két nem túl szép valós megoldása,

x + 1/x = 2, ennek pedig egyetlen megoldása az x=1 (ami egyébként kétszeres gyök, vagy másként: multiplicitása 2).

A lényeg, hogy összesen 4 KÜLÖNBÖZŐ valós megoldást találtunk, így a kérdésre a válasz a 4.

Ellenőrzés WolframAlphával:

[link]

Tekintve, hogy ennek a negyedfokú egyenletnek (multiplicitással számolva) 3 egész megoldása volt, ezért ezek megtalálhatóak lettek volna akár a Rolle-féle racionális gyökteszttel is, majd ezeket megtalálva polinomosztással lehetett volna egy másodfokúra redukálni a negyedfokút, aminek további két valós megoldása lett volna, ezért ebben a példában nem volt szükséges a fenti levezetéssel számolni. Ellenben érdemes tudni a későbbiekre, ki tudja, hogy mikor fog eléd kerülni egy újabb szimmetrikus negyedfokú egyenlet, és akkor már lesz egy univerzális megoldásod hozzá.

Kiemelsz x-et (x=0 megoldás), a másik tényező egy 4-ed fokú polinom. Ez egy speciális polinom, mert az együtthatói 1, -7, 12,-7, 1 elölről olvasva ugyanaz, mint hátulról (azaz mint a palindrom szavak). Osztasz x^2-tel.

Kapod:

(x^2+1/x^2)-7*(x+1/x)+12=0

(x+1/x)-et elnevezed y-nak, mondjuk. Észreveszed, hogy y^2-2 = x^2+1/x^2

Így az egész egy másodfokú egyenletre redukálható. Ezt megoldod y-ra. Majd y ismeretében megoldod x-re. Kapod, hogy x=1 kétszeres multiplicitású gyök, meg lesz még két különböző valós gyök (ezt nem írom le, mert bonyolultabb).

Így az eredeti polinomnak öt valós megoldás van, de csak négy különböző, mert az x=1 gyök kétszeres multiplicitású.

D válasz a helyes.

#5, akkor pláne jó, hogyha magadé teszed ezt a megoldási módot :)

Akkor, ha már szóbakerült, a Rolle-féle racionális gyöktesztnek is nézz utána. Egyáltalán nem bonyolult, cserébe nagyon hasznos.