Integrálás házi segítség?

a) Ahhoz, hogy normálisan tudd ábrázolni a függvényt, érdemes teljes négyzetté alakítanod, ami így néz ki:

(x+0,5)^2 - 2,25

Ebből az tudod kiolvasni, hogy az eredeti x^2 függvényt a koordinátarendszerben 0,5-del balra (nem elírás) kell tolni, majd 2,25-dal lefelé.

Ennek a "puklis" részének kell a területe, vagyis ami az x-tengely alatt van. Ehhez szükségünk van a zérushelyekre, vagyis oldjuk meg az

x^2+x−2 = 0

másodfokú egyenletet, de akár a teljes négyzetes alakkal is egyenlővé lehet tenni:

(x+0,5)^2 - 2,25 = 0

Akárhogy is, a két megoldás: x=1 és x=-2.

Innen már csak annyi a dolgod, hogy Riemann-integrálod a függvényt a [-2;1] intervallumon.

b) Olyat tanultunk, hogy ha az x-tengely, vagyis az y=0 egyenletű egyenes körül forgatjuk az f(x) függvényt az [a;b] intervallumon, akkor az így keletkező forgástest térfogata:

b

int((f(x)^2) dx * pi

a

Tehát nekünk érdemes lenne így átalakítanunk.

Az x=2 egyenletű egyenes körüli forgatással kapott test térfogata megegyezik azzal a testtel, amit úgy kapunk, hogy a függvények inverzei által alkotott részt forgatjuk az y=2 egyenletű egyenes körül. Tehát keressük meg a függvények inverzeit:

y=x függvény inverze önmaga.

y=√x esetén cseréljük ki a betűket:

x=√y, majd ezt rendezzük y-ra:

y=x^2

Tehát a két függvény, amivel foglalkoznunk kell:

y = x és

y = x^2

Most a síkidom x-szerinti határai kellenek nekünk, ezért oldjuk meg az

x=x^2 egyenletet, aminek megoldásai x=0 és x=1, tehát a [0;1] intervallumon található a közrezárt terület. Mivel ezen az intervalumon x>=x^2, ezért a keletkező test térfogatát úgy kapjuk, hogy a két függvényt a fenti képlet szerint integráljuk, majd a "felső" függvényből kapott eredményből kivonjuk az "alsó" függvény eredményét. Magyarán külön használjuk a két függvényre az

b

int((f(x)^2) dx * pi

a

képletet, majd a kapott eredményeket kivonjuk egymásból (x-éből x^2-ét).

d) Az ívhosszra vonatkozó képlet:

b

int( √(1+(f'(x))^2) ) dx

a

Invertáljuk a függvényt ugyanúgy, mint az előbb;

x=−2y^3/2

Itt feltételezem, hogy a /2 a kitevőben szeretne lenni:

x=−2y^(3/2), megcseréljük a betűket:

y=-2x^(3/2), meg is van az inverzünk.

Amikor egy függvényt invertálunk, akkor geometriai értelemben az x=y egyenletű egyenesre tükrözzük tengelyesen. Ennek megfelelően a határok is tükröződnek, vagyis az "y=0-tól y=3-ig" is, ennek tüköképe az "y=0-tól y=3-ig", vagyis a [0;3] intervallum.

Innen pedig csak a fent említett képletet kell használni. Vigyázzunk, mert a képletben az látható, hogy négyzetre emelés előtt még deriválnunk kell a függvényt.

A függvény x szerinti deriváltja:

-2x^(3/2)' = -2*(3/2)*x^(1/2) = -3*x^(1/2), és ezt már lehet négyzetre emelni a képletben.