Lefedhetö-e hezagmentesen es atfedes nelkül egy 90*90-es negyzet 4*1-es dominokkal?

Nem lehet megcsinálni.

Színezzük a négyzetrácsunkat a sakktáblának megfelelően, ekkor kezdésnél minden sorban és oszlopban 45 fehér és 45 fekete négyzet lesz. Amikor leteszel egy 4x1-es dominót, akkor „hosszirányban” mindig 2-2 fehéret és feketét fedsz le, tehát azon a vonalon (sor/oszlop) a színek paritása nem változik, és lesz 4 vonal, ahol 1-gyel csökken a színek száma. Akárhogy teszed a dominókat, mindig lesz legalább 1 (de inkább 2) olyan vonal, ahol páratlanul van valamelyik szín, és emiatt nem lehet megoldani a lefedést.

90/4=22,5. Vagyis egy sorban 22 dominót tudsz letenni, de 2 négyzet - egy fél domimónyi ugye - üres marad a sor végén.

Erre a részre elkezdhetsz tenni 2 sorban domimót derékszögben elfordítva... de soronként 2 négyzet itt is ki fog maradni a végén a 90/4 oszthatóság miatt, vagyis 4 négyzeted mindenképp üresen marad (négyzet alakban).

Mivel a 90/4 = 22,5

90x90=2025

2025/4=506,25

Nem.

Színezéssel célszerű bizonyítani, ahogy #1 javasolta, csak éppen 4 színnel.

piros-sárga-kék-zöld színek egymás után az átlókban.

Tehát bal felső négyzet piros, aztán mellette a két négyzet sárga, a következő átlóban már 3 négyzet van, ezek kék, utána 4-es átló zöld.. stb.

Így egy 1x4 -es dominó mindig pontosan 1 piros, 1 sárga, 1 kék, 1 zöld mezőt fog lefedni valamilyen sorrendben, bárhogyan is rakjuk a dominót

Számold össze melyik színből mennyi van, így átlónként, ezek számtani sorozatok.

Arra kell figyelni, hogy a főáatló (90 hosszú) után újra csökkennek az átlók egyesével.

Amíg a saroktól eljutunk a főátlóig:

Piros: 1, 5, 9, ...85

Sárga: 2, 6, 10, ...86

Kék: 3, 7, 11, ...87

Zöld: 4, 8, 12, ...88

89-es átló piros

90-es átló sárga

és innentől csökkennek az átlók újra, amíg eljutunk az átellenes sarokig:

89-es kék, tehát ezek lesznek kékek: 89, 85, ... 1

88-as zöld.. tehát ezek a zöldek: 88, 84, ... 4

87-es piros: 87, 83, .... 3

86-os sárga: 86, 82, .... 2

A számtani sorozatok összegképletével kiszámolható, hogy a piros mezők száma egyenlő a kékekkel (=2025), de a sárga mezők száma 2026, a zöldeké pedig 2024

(ha nem rontottam el)

lényeg, hogy nem fedhető le dominókkal úgy, ahogy a feladat kéri, mert csak akkor lehetne, ha azonos számú piros,sárga,kék, zöld mezőink lennének.

Amúgy úgy is lehetne indokolni, hogy a sárga és zöld átlók mindig páros hosszúak, így a sárgák és a zöldek összege biztosan páros.

Nekünk pedig 90*90 / 4 = 2025 kellene minden színű mezőből, hogy lefedhető legyen.

#5, utána én is gondoltam 4 színnel, csak ahogy (felszínesen) végiggondoltam, nekem az jött ki, hogy mindegyik színből ugyanannyi lesz, de jó, hogy te végigszámoltad.

Máshogy is lehet számolni;

Maradjunk a piros-sárga-kék-zöld színeknél. 90/4=22,5, tehát 22 teljes színnégyes van egy sorban, az utolsó két mező pedig piros és sárga, tehát az első sorban 22 kék és zöld van, valamint 23 piros és 23 sárga.

A következő sorban a szinek 1-gyel balra tolódnak, aztán az azt következőben még eggyel, aztán még eggyel, és azt tapasztaljuk, hogy mindegyik fajta kezdődéssel lesz sorunk, így mindegyik színből ugyanannyinak kell lennie az első négy sorban összesen. Ugyanezt el tudjuk játszani a 88. sorig, vagyis ha követjük ezt a mintát, akkor a 88. sorig mindegyik színből ugyanannyi lesz összesen.

Marad a 89. és a 90. sor. A 89. sor ugyanúgy kezdődik (a periódusság miatt), mint az első sor, tehát 23 piros, 23 sárga, 22 kék, 22 zöld található benne.

A 90. sorban a színek sorrendje sárga-kék-zöld-piros, a legelején választott számítás szerint 23 sárga, 23 kék, 22 zöld, 22 piros.

Összesen tehát 89. és a 90. sorban lesz 45 piros, 46 sárga, 45 kék és 44 zöld.

Összességében tehát a színek száma nem lesz azonos, mivel sárgából több, zöldből pedig kevesebb lesz, mint kellene, Így tehát #5 okfejtése alapján nem tudunk minden színnégyesre egy dominót fektetni, vagyis nem lesz elég hely az összes dominónak.

#6 :"#5, utána én is gondoltam 4 színnel, csak ahogy (felszínesen) végiggondoltam, nekem az jött ki, hogy mindegyik színből ugyanannyi lesz, de jó, hogy te végigszámoltad."

Talán a legegyszerűbb úgy látni, hogy a 90x90-es tábla felbontható egy darab 2x2-esre, és egy csomó 4x2-esre és 4x4-esre. A 2x2-esben valamelyik színből több van, ha úgy színezel, hogy átlósan tolódnak el a színek.

Kb ugyanez máshogy: a 90x90-es négyzet celláinak x koordinátáinak összege ≡ 2 mod 4 (konkrétan 90*89*90/2), de minden, akár fekvő akár álló 4x1-es dominó által lefedett területben a cellák x koordinátáinak az összege ≡ 0 mod 4.