Van olyan pozitív egész x, melyre x^2+x+1 négyszetszám?

(a+1)^2 - a^2 = 2a + 1 az egymást követő négyzetszámok távolsága

x^2 + x + 1 =< x^2 + 2x + 1 = az x^2-et követő négyzetszám.

0 =< x

Tehát minden 0 < x-re teljesül, hogy az összeg kisebb, mint az x^2-et követő négyzetszám.

Tehát az a kérdés, hogy az

x^2 + x + 1 = p^2

egyenletnek milyen p-re lesz pozitív egész megoldása. Redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

x^2 + x + 1 - p^2 = 0, majd vizsgáljuk ennek az egyenletnek a diszkriminánsát:

1^2 - 4*1*(1 - p^2) = ... = 4p^2 - 3

Mivel a megoldóképletben ebből még gyököt kell vonnunk, ezért, ennek négyzetszámnak kell lennie (tekintve, hogy racionális és irracionális összege/különbsége mindig irracionális, és ezen a /2 sem sokat segít), vagyis valamilyen q egészre

4p^2 - 3 = q^2 teljesül, rendezzük az egyenletet:

4p^2 - q^2 = 3, majd a bal oldalt szorzattá alakítjuk:

(2p-q) * (2p+q) = 3

A bal oldalon egész számok szorzata látható, vagyis a 3-at kell tudnunk egész számok szorzataként felírni. A negatív szorzótényezőket és a szorzótényezők sorrendjét is figyelembe véve, összesen 4-féle szorzatot kaphatunk: (-3)*(-1), (-1)*(-3), 1*3, 3*1, ezekre külön-külön egyenletrendszereket tudunk kapni, amiket megolda vissza tudjuk fejteni x-re.

Tehát legjobb esetben is csak 4 olyan eset lehet, amikor az eredeti kifejezésben x helyére egész számot írva a végén négyzetszámot kapunk. Hogy ebből hány esetben lesz x pozitív egész, az a végén kiderül.