Az ABC háromszögben D eleme (AB), G eleme (AC) úgy, hogy AD/DB=2/5, AG/GC=7/3. DE párhuzamos FG párhuzamos BC, ahol E eleme (AC), F eleme (AB). Mennyi a háromszög területe, ha az FGED területe 2001 cm^2?

Lefordítva a feladatot :

adott ABC háromszög. A BC oldallal párhuzamosokat húzunk.

A párhuzamosok AB oldalt D és F pontban, az AC oldalt E és G pontban metszik

Tudjuk : AD/DB=2/5, AG/GC=7/3. A párhuzamosok a háromszögből 2001 cm2-es területet vágnak ki

a párhuzamosok hasonló háromszögeket vágnak ki :

Az első oldala aránya a nagy háromszöghez : 2/(5+2)

A második oldalaránya a nagy háromszöghöz : 7/(7+3)

E két háromszög területének a különbsége a 2001 ( AGF és AED)

A nagybetűk a nagy háromszögre vonatkoznak :

t1-t2=m1*a1/2-m2*a/2=(7M/10*7A/10-2M/7*2A/7)/2

(7M/10*7A/10-2M/7*2A/7)/2=2001

M*A/2*(49/100-4/49)=2001

MA/2*0,4084=2001

MA/2=4900 cm2

ez a háromszög területe

Kérdező!

Szerinted nem jó a válasz? vagy miért emelted ki?

És hol marad a "köszi a segítséget"?

Kaptál egy gondolatmenetet, ezek után esetleg te is leellenőrizheted -sőt célszerű is lenne leellenőrizned - a feladatot.

Kell rajz is, hogy megértsd ?

Ha már a kérdező hiányolta más megoldását, íme ugyanaz kicsit másképp.

A jelölések értelmezéséhez lásd

[link]

A nagy (ABC) háromszög területe

T0 = a*m/2 = ?

amit meg kell határozni.

Tt = 2001 cm² - a trapéz alakú terület nagysága

Mivel csak egy adat ismert, a rajzon világoskékkel jelölt terület, ebből lehet kiindulni.

Ez a terület két háromszög területének különbsége, ezt az összefüggést kell képletbe foglalni. A kiszámításhoz szükség van a háromszögek alapjának és magasságának értékére. A megadott arányok ismeretében (értelmezésüket és értéküket lásd a mellékelt ábrán) a következőket lehet írni:

A nagyobbik háromszög alap és magassága

b1/(b1 + b2) = a2/a

b1/(b1 + b2) = m2/m

ezekből

a2 = a*b1/(b1 + b2)

m2 = m*b1/(b1 + b2)

A kisebbik háromszögnél

c1/(c1 + c2) = a1/a

c1/(c1 + c2) = m1/m

ezekből

a1 = a*c1/(c1 + c2)

m1 = m*c1/(c1 + c2)

Mielőtt tovább mennénk, egy kis egyszerűsítés.

Legyen

b1/(b1 + b2) = p

és

c1/(c1 + c2) = q

A b1 és b2 ill. c1 és c2 értékek nem ismeretek, csak az arányuk, egy kis átalakítással be lehet csempészni a megadott arányokat

p = b1/(b1 + b2)

számlálót, nevezőt elosztva b1-el

p = 1/(1 + b2/b1)

ugyanígy a 'q' esetén is.

q = 1/(1 + c2/c1)

Így már számítható a p és q értéke.

Az alap és magasság képletei a bevezetett jelöléssel

a2 = a*p

m2 = m*p

a1 = a*q

m1 = m*q

Ezekkel a két háromszög területének különbsége

a2*m2/2 - a1*m1/2 = Tt

behelyettesítés után

a*m*p²/2 - a*m*q²/2 = Tt

Az a*m/2 mennyiség pontosan a nagy háromszög keresett területe, ezért

T0(p² - q²) = Tt

így

T0 = Tt/(p² - q²)

Most már csak be kell helyettesíteni, de van még egy apróság

p = 7/10

q = 2/7

így

T0 = 2001/(49/100 - 4/49)

A nevezőben közös nevezőre hozva

T0 = 2001*49*100/(2401 - 400)

a zárójelben levő érték: 2001

így egyszerűsítés után

T0 = 49*100

T0 = 4900 cm²

===========

DeeDee

=======