Az alábbi egyenletrendszerben az a együtthatót egy "kicsit" megváltoztatjuk. Iagz-e, hogy ennek hatására az egyenletrendszer megoldása is csak "kicsit" változhat meg? ax+by=c dx+ey=f (ez a két egyenletet kapcsos zárójel köti össze a végén)

Az én sejtésem az, hogy az egyenlet ilyen szempontból eléggé érzékeny.

(1): ax + by = c | ·d

(2): dx + ey = f | a·

Tegyük fel, hogy b, d ≠ 0,

(1): ax + by = c | ·d

(2): dx + ey = f | a·

(1'): adx + bdy = cd

(2'): adx + aey = af

(1) - (2): (bd-ae)y = cd-af

y = (cd-af)/(bd-ae)

Ha bd-ae ≈ 0 (vagyis ha a nevező nagyon-nagyon picivé válik, mondjuk közelítünk vele nulla felé), akkor legalábbis az y megoldás értéke ,,megugrik''. Márpedig a nevező tetszőlegesen kicsinnyé tehető, ha az a paraméter értékét úgy választjuk meg, hogy bd ≈ ae, vagyis ha a ≈ bd/e.

Egyébként nem értek a témához, szóval tévedhetek is, mindenesetre egyelőre ez a sejtésem. A determináns fogalmát tanuljátok épp lineáris algebrából, úgy jött elő ez a feladat?

Megpróbálom a témában való tájékozatlanságomat az alábbi linkkel enyhíteni:

[link]

úgy tűnik, mind az x-re, mind az y-ra kapott paraméteres megoldás lehet ,,érzékeny'' az ,,a'' paraméter megválasztására azokban a ,,szerencsétlen'' esetekben, amikor az ,,a''-t épp úgy sikerül bekalibrálni, hogy a nevezőkben szereplő kifejezés nagyon-nagyon picivé válhasson.

Egy másik meggondolás

(1) ax + by = c

(2) dx + ey = f

Ezek tulajdonképpen egyenesek egyenletei. Feltételezve, hogy metszik egymást, a választ a metszéspont koordinátáinak változása adhatja meg, ha az 'a' együttható értékét kis mértékben megváltoztatjuk.

Az (1)- ből

y = c/b - (a/b)*x

a (2)-ből

(2' ) y = f/e - (d/e)*x

Az (1) egyenes állandó helyzetű, a másiknál pedig vezessük be az

a = a + q

mennyiséget, ahol q < 1 tetszőlegesen kicsi mennyiség.

Ezzel az (1)

y = c/b - [(a + q)/b]*x

ill.

(1' ) y = c/b - (a/b + q/b)*x

Az (1' ) és a (2' ) egyenlőségéből a metszéspont 'x' koordinátája

c/b - (a/b + q/b)*x = f/e - (d/e)*x

c/b - f/e = x*(a/b - d/e + q/b)

vagyis

x = (c/b - f/e)/(a/b - d/e + q/b)

Közös nevezőre hozva

x = (ec - bf)/(ac - bd +q*b)

ha

ec - bf = A

ac - bd = B

akkor

x = A/(B + q*b)

===========

Ebből azt látom, hogy kis értékű 'q' esetén az 'x' változása is kicsi.

Lehetne még boncolgatni, de már fáradok. Ha szükséges, holnap folytatom. :-)

DeeDee

***********

Nagyon köszönöm ezt a szép geometriai szemléletet.

Viszont ha tényleg két egyenesként gondolunk a két egyenletre, akkor ebből a szemléletből is az következik, hogy ,,szerencsétlen esetben'' a megoldások nagyon ,,érzékenyen'' is függhetnek a paraméterektől (vagyis az ,,a'' paraméter) igen piciny változására is ,,ugrálhat'' a megoldás terjedelem akármilyen nagy hibahatárral, sőt akár korlátlanul is.

A nevezőt kell 0 felé szorítani, úgy lehet kiprovokálni ezt a szerencsétlen esetet. Ha pedig a geometriai kép szemléletesebb (szerintem is), akkor szerintem arra az esetre érdemes gondolni, mi is van akkor, amikor a két egyenes ,,majdnem párhuzamos''. Két ,,majdnem párhuzamos egyenes'' helyzetét egész picit változtatva, csúszkálhat a metszéspontjuk akár fényévnyi távolságokat is. Azt érdemes elképzelni, milyen az, amikor képzeletben összecsukok egy olyan óriásollót, amelynek a forgó tengelye a Föld középpontja, az egyik késének a hegye Sirius csillag középpontja, a másik késének a hegye pedig a Sirius csillag középpontjától egy milliméterre oldalra levő pont. Ha egy ilyen ollót összecsukok, akkor a kések gyakorlatilag alig mozdulnak el, a metszéspont mégis rögtön végigszalad a Földtől a Siriusig.

Nagyon köszönöm a visszajelzést. Azt hittem, ez egy elsőéves egyetemi példa (lineáris algebra, determinánsok). Ha kilencedikes példa, akkor talán jobb lesz, ha egy konkrét példát keresek a szemléltetésre, mennyire ,,érzékeny'' is lehet a dolog.

Először is bemutatom, milyen egyenleteket választanél példámban és ezeknek milyen egyenesek felelnek meg:

Első egyenes:

-0,001 x + y = 0

ez olyan alakra hozható, hogy

y = 0,001x

Ez egy olyan egyenes egyenlete, hogy az origón megy át, és nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,emelkedik'', de nagyon közel áll a vízszinteshez.

Az első egyenest majd egy picit ,,billegtetni'' fogom, vagyis az ,,a'' pareméternek szerepét játszó számot nagyon kismértékben változtatni. Az előbb -0,001 volt, de lesz egy olyan variőns is, ahol +0,001 lesz:

0,001 x + y = 0

ha ezt a variánst nézem. hát ez meg olyan alakra hozható, hogy

y = -0,001x

ekkorm eg olyan lesz az egyenlete, hogy az origón megy át, és nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,ereszkedik'', de nagyon közel áll a vízszinteshez.

No hát ez lenne az első egyenesünk. Egy ilyan, origón átmenő, és a vízszintestől szemre csak nagyon nehezen megkülönböztethető egyenes, amely nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,emelkedik'' (első variáns), vagy pedig nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,ereszkedik''. Láthatjuk, hogy az első eset és a második eset között csak az a különbség, hogy az első esetben az ,,a'' paraméter szerepét a +0,001, a másosik esetben pedig a -0,001 szám játssza, tehát a két eset között mindöösze 0,002 mérétben ,,ingadozik'' az ,,a'' paraméter értéke.

No most meg vegyük hozzá az ábrához a második egyenest is:

0x + y = 1

ezt kicsit másképp felírva:

y = 1

Ez egy olyan egyenes egyenlete, hogy tökéletesen vízszintes, semennyire sem ,,emelkedik'', sen nem ereszkedik. Rgyébként nem az origón megy át, hanem 1 magasságban terül el az x tengely fölött.

ÖSSZEHASONLÍTÁSOK: AZ ,,a'' PARAMÉTER KIPRÓBÁLÁSA AZ ELSŐ, ILL. A MÁSDIK ESETBEN

ELSŐ ESET: AZ ,,a'' PARAMÉTER -0,001:

No most nézzük meg a két egyenest együtt. Említettem, hogy z első egyens valójában kétféle variáns szerint szerepel hiszen ezt az egyenest kimsértékben ,,billegtetem'' az ,,a'' paraméter enhye változtatgatásával. Ugye az első variáns az volt, hogy

-0,001 x + y = 0

és ehhez ez egyenlethez veszem hozzá a másosik egyenest, ami

y = 1

volt, szóval az

-0,001 x + y = 0

y = 1

egyenletrendszer megoldásáról lenne szó.

Ez graikusan nézve azt jelenti, hogy van az első egyenes (az első variáns szerint), ez egy olyan egyenes egyenlete, hogy az origón megy át, és nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,emelkedik''.No és ez hol fogja ez metszeni azt a másik egyenest, amely 1 magasságban terül el az x tengely fölött teljesen vízszintesen?

Hát a megoldás az, hogy valahol jó messze pozitív irányban:

[link]

egész pontsan szólva, a metszéspont az (1000, 1) pontban lesz. Ezt akár kézzel is levezethetjük:

-0,001 x + y = 0

0x + y = 1

második egyenletet egyszerűbb alakjában írjuk fel

-0,001 x + y = 0

y = 1

a második egyenlet egy egyszerű behelyettesítéssé fajukt el, ezt a beheyettesítést rögtön alkalmazzuk is az első egyenletre:

-0,001 x + 1 = 0

most már ki is fog jönni a megoldás

1 = 0,001 x

1000 = x

x = 1000

MÁSODIK ESET: AZ ,,a'' PARAMÉTER +0,001:

No megint nézzük meg a két egyenest együtt, de most az első egyenesnek ne az első (enyhén memlekdő), hanem a másik (enyhén ereszkedő) változatát nézzük:

0,001 x + y = 0

y = 1

Szóval az első egyenletnek ez a mostani variánsa meg egy olyan egyenes egyenlete, hogy az origón megy át, és nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,ereszkedik''. Hol fogja ez metszeni azt a másik egyenest, amely 1 magasságban terül el az x tengely fölött teljesen vízszintesen? Hát most is valahol jó messze, de ezúttal nem pozitív, hanem NEGATÍV irányban:

[link]

egész pontosan megmondva, a metszéspont a (-1000, 1) pontban lesz. Ezt is levezethetjük akár kézzel is:

0,001 x + y = 0

0x + y = 1

második egyenletet egyszerűbb alakjában írjuk fel

0,001 x + y = 0

y = 1

a második egyenlet egy egyszerű behelyettesítéssé fajukt el, ezt a beheyettesítést rögtön alkalmazzuk is az első egyenletre:

0,001 x + 1 = 0

most már ki is fog jönni a megoldás

0,001 x = -1

x = -1000

TANULSÁG

Lám, mindössze 0,002 mértékben változtattunk az ,,a'' paraméter értékén, és íme, az eredmény (x-re) 2000 mértékben ugrott meg.

Persze én direkt választottam ilyen példát, szándékosan kerestem meg egy ,,kényes'' lehetőséget. Többnyire inkább az van. hogy ha az ember találomra írna fel egy egyenletrendszert, akkor az ,,a'' paraméter pici változtatása az eredményben is csak pici változást hozna.

Javítás:

Az első egyenest majd egy picit ,,billegtetni'' fogom, vagyis az ,,a'' paraméternek szerepét játszó számot nagyon kismértékben változtatni. A geometriai képe pedig: egy az, origón átmenő, és a vízszintestől szemre csak nagyon nehezen megkülönböztethető egyenes, amely vagy nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,emelkedik'' (első variáns), vagy pedig nagyon-nagyon enyhe meredekséggel ,,ereszkedik''. Láthatjuk, hogy az első eset és a második eset között csak az a különbség, hogy az első esetben az ,,a'' paraméter szerepét a -0,001, a második esetben pedig a +0,001 szám játssza, tehát a két eset között mindössze 0,002 mérétben ,,ingadozik'' az ,,a'' paraméter értéke.

Hol fogja ez a ,,kissé billegtetett' egyenes metszeni a másik, nem-billegtetett egyenest (amely 1 magasságban terül el az x tengely fölött teljesen vízszintesen)?

A példában mindössze 0,002 mértékben változtattunk az ,,a'' paraméter értékén, és íme, az eredmény (x-re) 2000 mértékben ugrott meg.