Matek házi, függvények határértéke. Segít valaki?

Az elsőnek itt van egy eredménye, de a megoldással még küzdök:

[link]

Az utolsó 4 hasonlóan fog menni, mindenhol alakítsd szorzattá a hatvány minusz valamennyit, az a^2-b^2=(a-b)(a+b) és hasonló nevezetes összefüggésekkel, és akkor fogsz tudni egyszerűsíteni. Kis trükk: ahol csak x van, nincs négyzet, azt felírhatod gyök x négyzeteként.

Az alső sokkal nehezebb. Miután közös nevezőre hozol (ami ugye (1-x)(1+x)(1+x+x^2), nem pedig simán a két nevező szorzata) a számlálóként kapott kifejezésből ki lehet emelni (x-1)-et. Nem látszik kapásból, de próbáld meg, ki fog jönni. Utána már könnyű, tudsz egyszerűsíteni, stb.

Én meg az elsőben találtam meg a hibámat. Közös nevezőre hozás, L'Hospital-szály:

[link]

A második: 3/2

Harmadik: 12

19:35 : A képben küldött levezetésben hiba van, a második l'Hospital deriváláskor a nevezőt nem deriváltad. Illetve a papírodon bizonyára deriváltad azt is, mert a végeredmény jó, csak amikor képet csináltál belőle, akkor már lemaradt.

Szóval ott (-12x+6)/(20x^3-6x-2)-nek kell lennie.

De ehhez a feladathoz nem kell l'Hospital, lehet, hogy a kérdező nem tanult még deriválni. Ahogy írtam, direktben is megoldható:

Közös nevező: (1+x)(1-x)(1+x+x^2)

Számláló: 2(1+x+x^2) - 3(1+x) = 2x^2-x-1

Ebből pedig egy kis gondolkodás után látszik, hogy kiemelhető x-1: 2x^2-x-1 = (x-1)(2x+1)

Egyszerűsítés után ez marad: (-2x-1)/(1+x)(1+x+x^2)

ami x=1-nél már nem 0/0, hanem -3/6 = -1/2.