11. osztályos matek fakultációs feladat: Függvényvizsgálat?

Összeszorozva 4x^3-50x^2+150x

Ennek a deriváltja: 12x^2-100x+150

Szélsőértéke ott van ahol ez nullával egyenlő.

Megoldva az egyik gyök tényleg 1,962.

Szerintem ezt csak deriválással lehet megkapni.

" A számítást elvégezve, az eredmény: X=1,96. "

Te honnan tudod az eredményt ?

Tényleg deriválással lehet a legegyszerűbben megoldani, de bizonyára a feladat kiírása szerint elemi függvényvizsgálattal kell megcsinálni. Próbáljuk meg:

Beszorozva: 4x³-50x²+150x

Olyan harmadfokúakat tudunk könnyen elemezni, amikben nincs elsőfokú tag, próbáljuk meg átalakítani.

Legyen x=z+k ahol k megfelelően választott konstans

f(z) = 4(z+k)³-50(z+k)²+150(z+k)

(4z³+12k·z²+12k²·z+4k³)-(50z²+100k·z+50k²)+(150z+150k)

Elsőfokú z ezen tagokban van:

12k²·z-100k·z+150z = (12k²-100k+150)·z

Úgy érdemes k-t választani, hogy ez az érték nulla legyen. A megoldóképlet eredménye:

k12 = (25±5√7)/6

k1 és k2 bármelyike jó természetesen.

Válasszuk ezt: k=(25-5√7)/6

Ekkor a z-ben harmadfokú kifejezés ilyen alakot ölt:

f(z) = 4z³ + (12k-50)z² + (4k³-50k²+150k)

A harmadik, z-t nem tartalmazó (konstans) tag csak a szélsőérték nagyságát befolyásolja, a helyét nem, ezért elhagyhatjuk. Az így kapott g(z) függvényt csak a szélsőérték számításra használjuk!

g(z) = 4z³ + (12k-50)z²

g(z) = 4z³ + (-10√7)z²

g(z) = z²·(4z-10√7)

Ennek a függvénynek z=0-ban valamint 5√7/2-ben 0 az értéke, z<0 esetén negatív, z>5√7/2 esetén pozitív, és az is megmutatható, hogy ezeken a helyeken szigorúan monoton nő, tehát a szélsőértékei a 0 ≤ z ≤ 5√7/2 tartományban vannak.

Az is könnyen belátható, hogy egyik szélsőértéke z=0-nál van: g(0)=0, de z=ε esetén (ε kis pozitív) 4z-10√7 negatív, és z=-ε esetén szintén (z² persze pozitív). vagyis z=0-ban helyi maximuma van.

Most a lokális minimum helyét nem is kell kiszámolnunk, úgyhogy az az eredményünk, hogy az f függvény maximuma z=0-nál van.

Mivel x=z+k, ezért az eredeti függvény maximuma x=(25-5√7)/6 helyen van. Ez kb. 1,962

---------

Ha "véletlenül" a másik k értéket választottuk volna, akkor bonyolultabban jön ki a maximum helye, de azt is megmutatom.

k=(25+5√7)/6

g(z) = z²·(4z+10√7)

A szélsőértékei ennek is ugyanúgy a 0 ≤ z ≤ 5√7/2 tartományban vannak. Viszont z=0-ban most lokális minimum van, hiszen 4z+10√7 kis pozitív és negatív ε-okra is pozitív, közöttük g(0) pedig 0.

A lokális maximum helyének kiszámítása a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség segítségével történhet: mértani ≤ számtani

Most jön néhány trükk. Majd nemsokára meglátod miért, de ennél a függvénynél g(z) helyett a 4·g(z) függvénnyel érdemes számolni. A pozitív számmal való szorzás nem módosítja a maximum helyét, csak értékét. A másik trükk, hogy h(z)=4·g(z)-t ilyen alakban írjuk fel:

h(z) = (-2z)·(-2z)·(4z+10√7)

Ez a szorzat a három tényező mértani közepének a köbe. A számtani közép ez lesz:

((-2z)+(-2z)+(4z+10√7))/3 = 10·√7/3

A lényeg az, hogy kiesett a z. Pont azért választottam ennél a g(z) függvénynél h(z)=4·g(z)-t, hogy kiessen a z.

A mértani közép értéke ennél a konstansnál kisebb vagy egyenlő, és ami számunkra fontos, az az, hogy pontosan AKKOR EGYENLŐ, AMIKOR A HÁROM SZÁM EGYFORMA. Vagyis a lokális maximum helye pont annál a z-nél van, amikor a számok azonosak:

-2z = 4z+10√7

z = -5√7/3

Mivel x=z+k, ezért

x = -5√7/3 + (25+5√7)/6

x = (25-5√7)/6

Természetesen így is ugyanaz jött ki a lokális maximum helyére, csak kicsit bonyolultabban :)

(Megjegyzés: Azért kellett ilyen z·z·(z+valami) alakú harmadfokú egyenletté alakítanunk az eredetit, hogy a három tényező közül kettő egyforma legyen, akkor lehet ugyanis a harmadik is egyenlő ezekkel. Ha (z+a)(z+b)(z+c) alakú lenne, akkor nincs olyan z, amire mindhárom szám azonos.)

Hoppá, úgy látszik nem kezeli jól a honlap a speciális jeleket, az az z&# kezdetű és 178; végű dolog a válaszom elején egy z-négyzet (z²) akart lenni.

Szóval a sor újra:

(4z^3+12kz^2+12k^2z+4k^3)-(50z^2+100kz+50k^2)+(150z+150k)