Két magasságvonalból és egy pontból hogy lehet meghatározni egy háromszög oldalegyenesének egyenletét?

Itt megtaláltam a feladatot:

mail.mechatronika.hu/public_html/matek/kgo/egyenesgyakfel.doc

Tehát az A pont az egyik csúcs.

A szerkesztés gondolatmenetét lerajzoltam.

[link]

Ezt követem számolással.

Mond valaki gyorsabb, egyszerűbb megoldást?

Rajzold fel egy papírra a háromszöget, miközben olvasod a válaszomat, úgy könnyebb lesz megérteni.

-- Közben az előző válaszoló már csinált is hozzá ábrát, azt nézzed.

Mivel az A pont koordinátái sem az első, sem a második egyenes egyenletének nem megoldásai (helyettesítsd be 6,5-et meg -2-őt az egyenletekbe, nem azonosság jön ki), ezért A a harmadik csúcs kell legyen. Az A-n átmenő két oldal az az oldal, amire az adott magasságvonalak merőlegesek.

Pl. az egyik magasságvonal: 7x+2y=7. Ennek az egyenesnek a normálvektora (7; 2) Ez úgy jön ki, hogy az Ax+By=C alakra hozott egyenes egyenletben az x illetve y együtthatói a normálvektor két koordinátája.

(A normálvektor egyébként merőleges az egyenesre.)

Egy vektorra merőleges vektort (vagyis 90°-kal elforgatott vektort) úgy kapsz meg, hogy az x és y értékeit felcseréled, és az egyiket (bármelyiket) megszorzod -1-gyel. Tehát a (7;2) vektorra merőleges a (2;-7) vektor (persze a (-2;7) is.)

Ez a (2;-7) normálvektor pedig a háromszög oldalának normálvektora. Ebből az egyenes egyenlete, ami átmegy a (6,5; -2) ponton úgy jön ki, hogy:

2·x+(-7)·y = 2·6,5 + (-2)·(-2)

2x - 7y = 17

A másik oldalnak az egyenelete a másik magasságvonalból hasonlóképpen alakul. Most már gyorsabban:

magasságvonal normálvektora: (-1;1)

90°-kal elforgatott vektor: (1;1)

(6,5; -2) ponton átmenöő egyenes egyenlete: 1x+1y=1·6,5+1·(-2)

s+y=4,5

A két oldal megvan, kell még a harmadik. A két most kiszámolt oldalnak és a két magasságvonalnak a metszéspontja éppen a B meg C pont lesz:

C pont: Ez a pont rajta van a 2x-7y=17 valamint az y-x=4 egyenesen is, vagyis ezt az egyenletrendszert megoldva kijön a C pont koordinátája:

2x-7y=17

y-x=4

---

y = x+4, ezt behelyettesítem az első egyenletbe:

2x-7(x+4)=17

-5x-28=17

-5x=45

x=-9

ezt behelyettesítem az y=x+4 -be

y=-5

vagyis C(-9;-5) az egyik csúcspont.

A B pont hasonlóképpen jön ki:

s+y=4,5

7x+2y=7

---

elsőből: y=4,5-x

ezt a másodikba:

7x+2(4,5-x)=7

7x+9-2x=7

5x=-2

x=-0,4

Ezt visszahelyettesítve y=4,5-x -be:

y=4,9

vagyis B(-0,4;4,9)

Megvan a két másik csúcspont, ebből a köztük lévő egyenes egyenlete:

az egyik pontból a másikba mutató vektor (vagyis az egyenes irányvektora):

v(-0,4-(-9); 4,9-(-5))

v(8,6; 9,9)

Erre merőleges vektor: (ez lesz az egyenes normálvektora)

n(9,9; -8,6)

Ezzel az egyenes egyenlete:

9,9x-8,6y = 9,9·(-9)-8,6·(−5) = 43-89,1 = -46,1

Remélem, nem számoltam el :)

Előre is elnézést a közelítő eredményekért, de a GeoGebrával ketten számoltunk, és fárasztó mindenütt rávenni a közönséges törtekre:

[link]

Persze elszámoltam:

Az első oldal egyenletének felírásában a jobb oldalon -2-őt írtam -7 helyett. Helyesen:

2·x+(-7)·y = 2·6,5 + (-7)·(-2)

2x - 7y = 27

E miatt a C csúcs kiszámítása is rossz. 2x-7y nem 17, hanem 27:

2x-7y=27

y-x=4

---

y=x+4

2x-7(x+4)=27

-5x-28=27

-5x=55

x=-11

ezért

y=-6

C(-11; -6)

Persze a rossz C pont miatt a harmadik oldal kiszámítása se jó, de azt már rád bízom. Ha nem megy, szólj.

#5 vagyok.

Ma, a megoldáshoz készített ábra, itt érhető el:

[link]