Egy adott egyenes körkúpba beirunk egy maximális oldalfelszinü hengert. Mennyi a kúp és a henger magasságának aránya?

Legyen a körkúp alapjának a sugara R, magassága M. A beírt henger magassága legyen m, sugara r.

Ha magunk ele képzeljük az elrendezés tangelyes metszetét, akkor a henger sugara adódik arányossággal:

(R-r)/R = m/M

m/M -et nevezzük el x-szel, úgyis ezt kell kiszámolni.

R-r = Rx

r = R(1-x)

A henger palástjának területe:

T = 2r·pi · m

2pi·R(1-x)·m

m felírható úgy, hogy Mx

Vagyis a palást területe:

2pi·R·M·x·(1-x)

Ebből 2pi·R·M konstans, attól nem függ, hogy mikor lesz a függvénynek maximuma. Vagyis az x(1-x) fűggvény maximumát keressük.

Tanultatok deriválni? Ha igen, deriváld le, és ahol az nulla, ott van szelsőérték.

Ha nem tanultatok deriválni, akkor biztos tanultátok a számtani és mértani közép közötti összefüggést: A ≥ M. Nézzük meg az x és (1-x) számokra a közepeket:

Számtani: A = (x + (1-x))/2 = 1/2

Mértani: M = √(x·(1-x))

Mivel a számtani közép konstans, ezért a mértaninak van maximuma, ami az 1/2, és akkor éri el, ha a két szám egyforma. Vagyis:

x = 1-x

2x = 1

Tehát ott maximális a palást, ahol m/M = 1/2