Szabályos hatoldalú gúla alapéle 9 cm. Az oldallapjai az alap síkjával 45 fokos szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata?

Fuggolegesen vagjuk kette az egyik alapellel parhuzamosan a magassagon keresztul.

A keresztmetszet egy haromszog,

az alapja 9cm, a magassaga a gula magassaga, az oldalai meg 45 fokos szoget zarnak be az alappal.

Tehat a fenti csucsnal 90 fok van.

Akkor ez egy derekszogu haromszog,

a magassaga 9/√2

Ennek alapjan a terfogat: alapterulet*magassag/3= 9*9*(9/√2)/3=243/√2

Bocs, a magassagot rosszul szamoltam, nem 9/√2, hanem 9/2.

Ennek alapjan a terfogat: alapterulet*magassag/3= 9*9*(9/2)/3=243/2

Tehat akkor nezzuk a felszint.

Ugyanaz a szeleteles ami az elobb.

A keresztmetszet haromszog befogoja az nem mas mint az oldal haromszog magassaga, na ez a 9/√2 Pitagorasz tetel szerint.

Tehat az alap negyzet terulete:

9*9=81

Az oldalak terulete alap*m/2=81/(2√2)

4 oldal haromszog van, ezek terulete osszesen akkor:

4*81/(2√2)=81√2

A teljes felszin: 81+81√2=81(1+√2)

Bocs! Első válaszban:

"A keresztmetszet egy haromszog,

az alapja 9cm,"

Nem 9*gyök3 ?

Próbáld ez alapján elképzelni, hogy egy HAToldalú sátrat látsz elfelezve:

[link]

Néhány adat közelítő értéke is fel van tüntetve.

Na akkor meg egyszer.

Az elozo valaszban szereplo kep az nagyon jo.

Mi is pont igy felezunk.

Eszrevetel:

FA=EA=AD=9cm, mert a szabalyos hatszoget a kozepponton atmeno atloi szabalyos haromszogekre bontjak.

1) Nezzuk meg az FHA haromszoget.

H-nal derekszog van.

FH=9/2 cm

FA=9cm

Akkor HA kiszamithato Pitagorasz tetellel.

HA= 9*√3/2 cm (szabalyos haromszog magassaga)

Az alapot a csucson atmeno atlok 6 szabalyos haromszogre vagjak. Celszeru az alap teruletet kiszamolni, mert kell a terfogathoz is meg a felszinhez is.

Az alapja egy ilyen haromszognek 9cm, a magassagat most szamoltuk ki: 9*√3/2 cm

Akkor a terulet: 81*√3/4 cm

6db ilyenunk van, az osszesen: 243*√3/2 cm^2

A terfogathoz ezen kivul kell a gula magassaga.

Nezd meg a hig haromszoget. Az alapokon fekvo szogei 45 fokosak.

Tehat a harmadik szog derekszog.

Az AH tavolsag egyenlo az AG tavolsaggal.

AZ AH tavolsagot mar kiszamoltuk: 9√3/2, tehat ennyi lesz a gula magassaga.

Akkor a terfogat:

alap*magassag/3 = (243√3/2)*(9√3/2)/3= 2187/4 cm^3 = 546,75 cm^3

Akkor most a felszin:

Az alap teruletet mar ismerjuk:

243√3/2 cm^2

Meg az oldal lapok kellenek.

Megint nezzuk meg a HIG haromszoget.

A HG szakasz az pont az oldal lap haromszog magassaga, jeloljuk.

Azt is tudjuk, hogy a HIG haromszog derekszogu a H pontban. Pitagorasz tetel szerint akkor

HG^2 + GI^2 = HI^2

HI=9√3/2 volt, es GI=HG

tehat

2*HG^2= 81*3/4

HG=(9/2)*√(3/2)

Akkor egy oldal lap terulete:

9*HG/2=(81/4)*√(3/2)

Viszont hat darab van belole, tehat ez osszesen:

(243/2)*√(3/2)

Ehhez kell meg hozzaadni az alap teruletet:

24*3√3/2 + (243/2)*√(3/2) = a google calculator szerint: 211.160331