Az ABC háromszögben legyenek AA1, BB1, CC1 az A, B, C szögek szögfelezői. Mutassuk ki, hogy az AA1, BB1, CC1 vektorok akkor és csakis akkor alkotnak egy háromszöget, ha az ABC háromszög egyenlő oldalú. Segít valaki megoldani?

Konnyu bizonyitani, hogy egyenlo oldalu haromszog eseten a harom vektor osszege 0, vagyis haromszoget alkotnak a felsorol sorrendben.

Az allitas bizonyitasahoz, azt is be kell latni, hogy ha haromszoget alkotnak, vagyis az osszeguk valamilyen sorrendben 0, akkor a haromszog egyenlo oldalu.

Meg kell nezni azt az esetet amikor

AA1 + BB1 +CC1 =0

valamint azt amikor

AA1 + BB1 -CC1 = 0

az osszes tobbi eset erre a kettore vezetheto vissza.

Nezzuk meg az elso esetet, amasodik teljesen hasonloan bizonyithato.

Jelolje az oldalak hosszat a,b,c a szokott modon.

A szogfelezo tetel szerin:

AA1 = |AC|/|BC| *AB + |AB|/|BC| * AC

BB1 = |BA|/|AC| * BC + |BC|/|AC| * BA

CC1 = |CA|/|AB| * CB + |CB|/|AB| * CA

AA1 + BB1 + CC1 = AB * (b/a -a/b) + BC * (c/b - b/c) + CA*(a/c - c/a) =

(AC + BC)(b/a-a/b) +BC(c/b-b/c)+CA(a/c-c/a) =

= BC(c/b - b/c + b/a - a/b) + CA(a/c - c/a - b/a + a/b) =

=CB ( b/c - c/b + a/b - b/a) + CA (a/c - c/a + a/b - b/a)

ez ket vektor osszege, ezek a vektorok nemkollinearisak,

vagyis az osszeguk csak akkor lehet 0, ha mindket konstans szorzo tenyezo 0, vagyis:

b/c - c/b + a/b - b/a = 0

a/c - c/a + a/b - b/a = 0

abb - acc + aac - bbc = 0

aab - bcc + aac - bbc = 0

Az 1. egyenletbol:

ac(a-c) + bb(a-c) = 0

(a-c)(ac+bb) = 0

a masodik szorzo tenyezo pozitiv,

tehat a-c=0

a=c

Ezt a masodikba helyettesitve:

aab - baa + aaa - bba = 0

a(a-b)(a+b)=0

a+b>0

a>0

tehat a-b =0

a=b

Tehat a=b=c.