Egy döntöttfalú kanyarban mekkora maximális sebességgel mehet az autó, ha a kanyar sugara 50 m, a pálya dőlésszöge 30 fok és a mű=0,2?

a köv erők hatnak:

Fg=m*g

Fn

Fs=mű*Fn

ezek tartják pályán, vagyis ezek vektoriális összege adja ki a centripetális erőt, Fcp=m*v^2/r

A dölésszög szögfüggvényei kellenek a vektori összeghez, ezzel:

sin30*m*g+mű*m*g › m*v^2/r

a sin30-ban a 30 az fokban értendő, és könnyű: 1/2, ez a vektori rajzon is látszik, a reláció pedig valójában inkább nagyobb-egyenlő, és a Fn maga nem vesz részt a páylántartásban.

Az F-ek utáni betűk mindig alsóindexben vannak.

kinga.grego@yahoo.com

Hányadikos vagy? Ez nem egy sima gimnáziumi feladat. Vagy versenyfeladat, vagy egyetemista vagy.

Szerintem nem jó az első megoldás. Például azért, mert a centripetális erő vízszintes, az m·g·sin(30) pedig lejtőirányú. A súrlódás is lejtőirányú, és nem is μ·m·g az értéke, mert Fn nem m·g.

Én így számolnám ki:

----

Induljunk ki egy egyszerűbb feladatból: nincs súrlódás.

Sőt, még tovább egyszerűsítve: Ha nyugalomban lenne a test, akkor a súlyerő (m·g) és a nyomóerő (Fn = m·g·cos α) hatna rá, a kettőnek az eredője lejtőirányú, értéke m·g·sin α. Ez a lejtőirányú erő gyorsítaná a testet le a lejtőn.

Ha a test v sebességgel mozog (de még mindig nincs súrlódás), akkor a körpálya miatt a nyomóerő nagyobb lesz (gondolj csak arra, hogy a forgóhintában az ülés oldalról egyre jobban nyom, ott végülis ez a nyomóerő adja a centripetális erőt).

A sebesség növelésével az egyre nagyobb nyomóerő és a változatlan súlyerő eredője olyan sebességnél lesz éppen vízszintes, amikor a test stabilan körpályán megy, nem csúszik le a lejtőn. Ez a vízszintes eredő erő lesz a centripetális erő (Fc).

(Egyébként ilyenkor a nyomóerő függőleges komponense pont megegyezik m·g-vel, hisz függőleges irányban nem mozdul el a test.)

Kerestem egy ábrát ennek az állapotnak a bemutatására, de nem nagyon vannak jó ábrák, legalábbis én csak ilyet találtam:

[link]

Az eredő erő ilyenkor:

Fc / mg = tg α

Fc = m·g·tg(α)

m·v²/R = m·g·tg(α)

v = √(R·g·tg(α))

----

Most jön az igazi feladat: súrlódás is van.

Ilyenkor a sebesség még tovább növekedhet az előzőleg kiszámolthoz képest. A nyomóerő még nagyobb lesz, ettől Fn és m·g eredője már nem vízszintes, hanem felfelé megy, úgyhogy a test elkezdene gyorsulni felfelé a lejtőn, ha nem lenne súrlódás. Az Fs súrlódási erő éppen ezért a lejtőn lefelé mutat (természetesen lejtőirányban). A három erő (Fn, Fs és m·g) eredője a maximális sebességig továbbra is vízszintes marad így.

Az eredő erőhöz Fs-t érdemes függőleges (Fs·sin α) és a lejtőre merőleges irányú (Fs·cos α) komponensekre bontani.

Mindezt képletben felírva egy egyenletrendszert kapnánk:

Fs = μ·Fn

Fs·sin(α) + m·g = (Fn - Fs·cos(α))·cos(α)

Fc = (Fs·sin(α) + m·g)·tg(α)

Fc = m·v²/R

Brrr, ronda.

Máshogy is lehet gondolkodni. Itt a magyarázó szöveg hosszú lesz, de a számolás rövid:

Amikor az előző (súrlódásmentes) feladatnál kiszámolt sebességgel megy a kocsi, akkor Fs=0. A kocsiban ülő megfigyelő, ha nincs a kocsinak ablaka azt is hiheti, hogy a lejtő síkja a vízszintes, és a gravitáció valamiért megnőtt. Gondolj pl. arra, hogy a vasútnál is ferde pályát építenek a kanyarba, és az utasok nem veszik ezt észre, számukra az a vízszintes. A gravitációval meg az van, hogy egy v²/R centripetális gyorsulással körpályán mozgó kocsi egyenértékű azzal, mintha a = -v²/R (tehát ellenkező irányú) gravitáció lenne a kocsiban. A g is ott van persze, g-nek és a-nak az eredője lesz a megnövekedett gravitáció, ez az eredő éppen a lejtőre merőleges irányú. Nagysága egyébként √(g²+a²).

Tehát a zárt kocsi olyan, mintha vízszintes talajon nyugodna, és lefelé √(g²+a²) gravitáció lenne. A súrlódással pedig az van, hogy ha egy oldalirányú F erő hat a testre akkor mindaddig, amíg F/Fn < μ, addig a súrlódás miatt nem mozdul el a test. Ez az F/Fn a két erő közötti szög tangense, vagyis tg(β) < μ kell fennálljon.

μ = 0,2

β = arc tg 0,2 = 11,31°

Vagyis esetünkben mindaddig, amíg m·g és m·v²/R eredőjének a szöge a lejtő síkjára merőlegeshez képest β-nál kisebb, addig a súrlódás megtartja a pályán a kocsit.

Eddig volt a magyarázat, most jön a számolás:

Vagyis nem azt a képletet kell használnunk, hogy:

m·v²/R = m·g·tg(α)

Hanem ezt:

m·v²/R = m·g·tg(α+β)

β = arc tg(μ)

tehát a maximális sebesség:

v = √(R·g·tg(α + arc tg(μ)))

---

Remélem, nem számoltam el semmit.

Az Fs komponenseit el is rontottam: A függőleges még jó volt (Fs·sin α), de a lejtőre merőleges Fs·ctg(α) kellett volna legyen.

De azzal a bonyolult egyenletrendszerrel más gond is van, azt ne vedd komolyan. Még gondolkodom rajta, hogy azon mi a rossz... Más is besegíthet, hátha friss szem jobban látja.

Az utolsó képlet, ami végülis a súrlódási kúpot használja (lehet, hogy tanultátok ilyen néven), az szerintem jó.

Ha 10-edikes vagy, nem fizika szakon, akkor ez egy kemény házi... Írd már meg, hogy a tanár szerint mi a megoldás, és hányan oldották meg?

Na megvan a közepe. Ahogy mondtam, ennél van szebb megoldás, de ne maradjon úgy az a ronda és ráadásul rossz egyenletrendszer. Szóval onnantól, hogy "Az eredő erőhöz Fs-t", odáig, hogy "Brrr, ronda", mindent el kell felejteni. Az előtt az utolsó mondat nagyjából az volt, hogy:

A három erő (Fn, Fs és m·g) eredője (Fc) vízszintes.

És akkor a folytatás:

Fc lejtő irányú komponensét csak Fs és a súlyerő adja, hisz Fn erre merőleges. Lejtőre merőleges komponensét pedig csak Fn és a súlyerő, hisz Fs erre merőleges.

Lejtőirányú: Fc·cos α = Fs + mg·sin α

Arra merőleges: Fc·sin α = Fn - mg·cos α

Fs = μ·Fn

Fc = m·v²/R

Ez a 4 egyenlet írható fel, ebből kijön v. Brrr, ronda. :)

---

Ki is számoltam vele is a sebességet, ugyanaz jött ki, mint az "egyszerűbben" kijövő v = √(R·g·tg(α + arc tg(μ))) képletből, ami az első válaszom alján van.