Adott két pont és egy kör, általánosan szeretnék olyan kört szerkeszteni ami érinti az adott kört és a két pontot, hogyan induljak el?

Ha egyetemista vagy, akkor a radikalis megszerkesztesevel tudsz eljutni a megoldashoz, de kozepsuliban vagy felso tagozatban ez amennyire tudom nem anyag, szoval keressunk egy masik megoldast.

Ha abrat rajzolsz, akkor latszik, hogy akkor van csak megoldasod, ha a ket pont a kornek ugyan azon az oldalan van,

es ekkor mindig 2 megoldas is lesz.

Szinten eszre lehet venni, hogy elegendo a kor kozeppontjat meghatarozni, ebbol mar konnyu megrajzolni a kort, hiszen nem is egy, de ket pontja adott.

Egy masik megfigyeles lehet, hogy ket pont kozotti szakasz a szerkesztendo kor hurja lesz, vagyis a a korod kozeppontja rajta lesz a ket pont kozti szakasz felezo merolegesen.

Ez sajnos nem visz sokkal kozelebb a megoldashoz.

Egy masik trukk az, ha (keszits abrat) a pontokat mint koroket fogod fel, es ugyanannyival valtoztatod a 3 korsugarat, akkor a megoldas kor sugara is ugyanennyivel valtozik ellentetes iranyban, viszont a kozeppontja valtozatlan marad.

Mondjuk az elso pontod P a masodik Q es a korod K, a megoldas kor az meg M.

Rajzolj abrat mintha meglenne a megoldas aztan csinald a kovetkezot:

Rajzolj egy kort P kozepponttal, ugy, hogy atmenjen Q-n.

Nevezzuk ezt C-nek.

A C-re valo inverzio hova viszi az egyes elemeket?

(8.-as anyag volt meg nehany eve, ha mar nem tananyag vagy nem tudod mi ez kerdezz)

A megoldas kor az atmegy P-n, ennek a kepe egy e egyenes lesz, P kepe P, Q kepe Q, C kepe C, K kepe egy kis k kor a C belsejeben.

Az e egyenest probaljuk megtalalni. Utana mar csak vissza kell tukrozni es megvan a korunk.

Tehat van ket pontunk es egy kis korunk es egy egyenest keresunk, ami atmegy Q-n is es erinti k-t.

Ezt viszonylag egyszeru megszerkeszteni. Termeszetesen 2 megoldast kapsz az altalanos esetben.

Ennek aztan eleg 1 pontjat invertalnod a C korre, es lesz egy 3. pontja a megoldas korodnek.

3 pontbol meg mar tudsz egy kort szerkeszteni.

Tehát kezdetben vala a két pont, meg egy kör, mint az az első képen látszik:

[link]

Szerkesszük meg a P1 pont éa a kör középpontja közötti szakaszt. Ez ki fogja metszeni a kör kerületén a P3 pontot:

[link]

Szerkesszük meg a P1-P3 szakasz és a P1-P2 szakasz felező merőlegeseit. Ahol a két felező (szaggatott vonallal) metszi egymást, ott van a keresett kör középpontja (zöld színnel).

Valóban két megoldás lehetséges, a másodikhoz a kör túloldalán jelöljük ki a P3 pontot:

[link]

Innen kezdve a megoldás ugyanaz, mint az előző ábra esetén.

Pedro

Pedro, nem jó a megoldásod. Ami nálad P3, az nem lehet az a pont, ahol a két kör érinti egymást. Ha az lenne, akkor mivel a P3O egyenes merőlegesen metszi a megadott O középpontú kört, a P1P3 viszont a keresett kör húrja kellene legyen, tehát (a kivételes esettől eltekintve) az nem merőleges a kereset körre.

Sajnos a megoldást viszont nem tudom, túl éjszaka van most már ahhoz...

Francba... Igazad van!

Kedves kérdező, VISSZAVONOM, sajnos nem jó a megoldásom. :-(

Gondolkozom rajta...

Pedro

Hello!

Nezzunk egy koordinatageometriai megoldast.

Tegyuk a koordinatarendszer kozeppontjat az ismert kor kozeppontjara, ekkor a korod egyenlete:

(1) x^2 + y^2 = r^2, r ismert

Van ket ismert pontod, Legyen (x0,y0) es (x1,y1) koordinataju pontok -> ismertek.

A keresett korod egyenlete legyen ilyen alaku:

(2) (x-A)^2 + (y-B)^2 = R^2, ebben 3 ismeretlen van, az (A,B) a kor kozeppontja, R a sugara.

-----

Na, (2)-be helyettesitsd be az (x0,y0) es az (x1,y1) pontokat, mivel a kor atmegy rajtuk, ezert, ha behelyettesited, akkor az egyenlet "igaz" lesz. Kapsz 2 db. egyenletet.

A harmadikat onnan kapod, hogy a ket kor erinti egymast. Itt azt kell tudni, hogy az erintes azt jelenti, hogy a ket kor egyenletebol alkott masodfoku egyenlet (ti. kifejezed (1)-bol pl y-t es beirod a (2)-be) diszkriminansa 0 kell hogy legyen! A diszkriminans masodfoku, tehat a kifejezesnek 2 kulonbozo erteke is lesz(lehet!), ez majd kesobb fontos lesz.

Szoval akkor van 3 ismeretlened es 3 egyenleted, ez azt jelenti, hogy megoldhato (de nem biztos!) az egyenlet. Ja, es ugye ez a feladat megoldasa, hogy ilyen modon kell megszerkeszteni a kort.

Egyszer szamold vegig valami konnyu egesz ertekekkel, hogy kijon-e.

Na most nehany megjegyzes meg:

1. Mivel csak megoldhato, ezert fennallhat olyan is, hogy nincs megoldasa (logikusan vegiggondolva, ha az egyik pont a koron belul van, a masik kivul, akkor nem erintheti ugy a kort, hogy kozben atmegy ezeken a pontokon, hanem metszeni fogja),

2. az is elkepzelheto, hogy vegtelen sok megoldasa van, pl. specialis esetekben.

3. Mivel a diszkriminansnak ket megoldasa is lehet, ezert a ket megoldassal is kell szamolni, de ezt meg vegig kellene gondoljam, de rad bizom :)

4. Meg mi van akkor, ha D>0, azaz nem lesz 3. egyenlet? Ezt is gondold vegig.

Remelem segitett.

Udv.,

Kornel

Kornel,

Hol talaltad a vegtelen sok megoldast? Kivancsi vagyok a specialis esetre, nekem sehogy nem jon ossze.

Szerintem masodfoku egyenlet megoldasra vezet a koordinata geometriai megkozelites. 0,1, vagy 2 megoldas lehet a pontok es a kor kolcsonos helyzetetol fuggoen.

Az inverzios megoldasra amit fentebb ajnlottam nem reagalt senki. Jo/rossz/tul bonyolult? Ugy emlekszem van valami egyszerubb megoldas, de nem emlekszem mi. Az inverzios az tobbnyire mukodik az ilyen apolloniuszi tipusu problemakra. Egyetemen projektiv es abrazolo geometria reszekent tanultuk valahol a radikalis szerkesztest es ugy emlekszem az utan nagyon egyszeru lett az osszes ilyen tipusu problema, csak maga a radikalis nem egy konnyen emesztheto dolog elso hallasra. Viszont 8. osztalyban egy csomo ilyen feladatot megcsinaltunk teljesen elemi modszerekkel. Az a gyanum, hogy erre is kell valaminek lennie, csak egy jo otlet kene.

Hello BKRS,

A vegtelensok megoldast algebrai szempontbol gondoltam, ugyanis 3 egyenlet 3 ismeretlennek lehet vegtelensok megoldasa, ha pl. az egyik egyenlet azonossagga alakithato vagy ekvivalens egy masikkal. Geometriai kovetkezmenyet vegig kell gondolni. Egyebkent nyilvan akkor lehet csak, ha a ket adott pont es a kort erinto pont egybe esik.

Az inverzios megoldasodon meg gondolkodnom kell, ilyent tuti nem tanultam 8-dikban, viszont egyetemen igen. Majd este egy froccs mellett rajzolgatok, ha az asszony elalszik :)

Koordinata geometria... hmmm

nezzuk mi van ha igy vesszuk fel a ket pontot es a kort:

A:(1,0)

B:(-1,0)

K:(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

Vezessuk be a kovetkezo jelolest:

D = (a^2+b^2-R^2 + 1)/2

Nezzuk hol metszi ezekete a kovetkezo kor:

C: x^2 + (y-p)^2 = p^2 + 1

atalakitva:

x^2 + y^2 -2py = 1

C atmegy az A es B ponton.

K∩C a kovetkezo egyenletek kozos megoldas:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

x^2 + y^2 -2py = 1

Olyan p parametert keresunk, amire pontosan 1 megoldas lesz. Elvileg 0, 1 vagy 2 ilyen pa parametert kellene talalnunk.

x^2-2ax+a^2 + y^2-2by+b^2 = R^2

x^2 = 2py-y^2+ 1

2py-y^2+ 1 -2ax + a^2 + y^2-2by+b^2 = R^2

-2ax +2(p-b)y = R^2 -a^2-b^2-1

2ax = 2(p-b)y - R^2 +a^2+b^2 + 1

2ax = 2(p-b)y + 2D

ax = (p-b)y + D

a^2 * x^2 = (p-b)^2 * y^2 + 2(p-b)Dy + D^2

a^2 * (2py-y^2+ 1) = (p-b)^2 * y^2 + 2(p-b)Dy + D^2

((p-b)^2 - a^2)*y^2 + 2(pa^2 + (b-p)D)*y + a^2 - D^2 = 0

Akkor lesz 1 megoldas, ha a masodfoku egyenlet diszkriminansa 0.

4(pa^2 +(b-p)D)^2 - 4((p-b)^2 - a^2)(a^2 - D^2)=0

(pa^2 +(b-p)D)^2 - ((p-b)^2 - a^2)(a^2 - D^2) = 0

p^2 a^4 + 2p(b-p)Da^2 + (b-p)^2D^2 - (p-b)^2*a^2 + a^4 + (p-b)^2*D^2 - a^2D^2 = 0

p^2*(a^4 - 2Da^2 + 2D^2 -a^2) + p*2b*(Da^2 -2D^2 -a^2) +(a^2 - b^2)*(a^2 -2D^2) = 0

Szoval akkor p-re 2 megoldasunk lesz, de ez a ket megoldas lehet egyenlo vagy nem valos megoldas par is.

Ez mindenesetre nem vitt sokkal kozelebb a szerkeszteshez.