10osztályos matekfeladat exponenciális egyenlet segítenél kérlek?

9^x + 9^(1/x) = 18

ha x <0 a baloldal kisebb 2, tehat csak pozitiv x-ekre kell megoldani az egyenletet.

(9^x + 9^(1/x) )/2 ≥ √9^(x+1/x) = 9^((x+1/x)/2)

a hatvany fuggveny monotonitasa miatt ennek ott lesz helyi szelsoerteke, ahol az x+1/x fuggvenynek,

vagyis x=1 es -1 helyen

vagyis

ha x>0

(9^x + 9^(1/x) )/2 ≥ √9^(x+1/x) = 9^((x+1/x)/2) ≥ 9

egyenloseggel az x=1 helyen.

vagyis a 18 erteket aa egyenlet baloldala csak az x=1 helyen veszi fel.

Én meg az első feladatot mutatom:

[link]

A vége nem szép, de nem tudok jobbat!

8 - x*2^x + 2^(3-x)-x = 0

Nyilvan x=2 megoldas, a kerdes csak, hogy van-e masik megoldas is.

8 (1 + 2^(-x)) = x(1 + 2^x)

A baloldal mindig pozitiv,

a jobboldal csak akkor pozitiv, ha x>0

Elegendo tehat pozitiv x-kkel foglalkozni.

8 (1 + 2^(-x)) - x(1 + 2^x) =0

A ket tag kozul az elso tag szigoruan monoton csokkeno,

a masodik szigoruan monoton novekvo,

tehat csak 1 olyan hely lehet ahol a ket tag egyenlo nagysagu, vagyis az egyenletnek csak 1 megoldasa van,

az behelyettesitessel ellenorizheto, hogy x=2 megoldas,

ezzel keszen is vagyunk.