Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ
Főoldal Belépés/Regisztráció Egy véletlen kérdés Facebook






Kategória: Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések

A kérdés

Hogyan kellene megoldani ezt a feladatot? (matematika/térgeometria)

Sziasztok!

Elakadtam az alábbi feladattal, egyszerűen semmi ötletem sincs hozzá. Térgeometriában pedig egyenesen gyatra vagyok, sosem mentek ezek a feladatok. Mindenfajta segítséget előre is nagyon köszönök!

A feladat: [link]



 2012. márc. 29. 19:59  Privát üzenet  

A válaszok
Ifjutitan nevű felhasználó válasza:

A tetraéder térfogatát kérdezi a feladat.


V=alapterület*magasság/3


Először nézzük meg, mekkora lehet maximálisan az alapterület.


Mivel oldalakról van szó, ezért érdemes a Heron képletet elővenni:

[link]


Vegyük az egyik oldalt, amin csak 2dm-nél rövidebbek az élek, és ezt tekintsük alapnak.

Ugyan most hirtelen nem tudom bebizonyítani, de valszeg a legnagyobb alapterületet úgy kapjuk, ha mindhárom oldal 2dm.

Ekkor egy szabályos háromszög az alap, a területet is elég egyszerű számolni gyök(3) lesz.


Most nézzük meg a magasságot.

További 2 oldal is max 2dm lehet, ha felveszünk az alapra merőlegesen egy szabályos háromszöget, annak a magassága gyök(3). Ha megdöntjük ezt a háromszöget, akkor a tetraéder magassága csökkenhet, de biztos, hogy ennél nagyobb nem lehet.


Tehát a maximális térfogat valóban alapterület*magasság/3

vagyis gyök(3)*gyök(3)/3=1.

Ennél nagyobb térfogat nem jöhet ki.



A válaszíró 89%-ban hasznos válaszokat ad.
# 1/6Időpont 2012. márc. 29. 20:23 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
A kérdező kommentje:

Szia!

Nagyon szépen köszönöm a választ, sokat sítettél. Arra esetleg megkérhetlek, hogy írd le bővebben, miért kell szabályosnak lennie a "merőleges háromszögnek"? (Azt értem, miért akkor maximális a test magassága, ha ez a két lapja merőleges, csak azt nem látom, miért akkor maximális a magasság, ha az a háromszög szabályos...)



# 2/6Időpont 2012. márc. 31. 20:41 Privát üzenet
Ifjutitan nevű felhasználó válasza:

Az a feltétel, hogy 5 oldal max 2 dm lehet.

A tetraédernek 4 oldala van, ezért 2 oldala biztosan olyan, hogy max 2dm-esek az élei.

Mi pont ezt a két oldalt vizsgáljuk, az egyik lesz az alap, és a másik ilyen lap ad egy becslést a tetraéder magasságára.


Ha rövidebb oldalakat mérsz fel ennél függőlegesen, akkor a tetraéder magassága kisebb lesz.


Tehát a logika az, HA A LEHETŐ LEGNAGYOBB MAGASSÁGOT PRÓBÁLOD ÖSSZEHOZNI, még akkor se tudod átlépni az 1dm3-as térfogatot.


Kicsit precízebben.

M=2*T/a


a az fix. Tehát M annál nagyobb minél nagyobb a T.

De a T akkor a legnagyobb, ha az oldalak a lehető legnagyobbak. Erre hivatkoztam az elején amikor az alapot becsültem. (Ebben biztos vagyok, hogy igaz, de bebizonyítani nem nagyon tudom. A Heron képletből nagyjából látszik is a dolog.)



A válaszíró 89%-ban hasznos válaszokat ad.
# 3/6Időpont 2012. márc. 31. 21:01 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?
A kérdező kommentje:

Áh, azt hiszem kezdem érteni... Tehát azt kellene bizonyítani, hogy az adott kerületű háromszögek közül a szabályosnak a legnagyobb a területe? Ez talán menni fog, de akár kész tételként is kezelni lehetne, többször hallottam már. Maximális terület pedig maximális magasságnál lehetséges, ha jól értem, amit mondasz.

# 4/6Időpont 2012. márc. 31. 22:47 Privát üzenet
Ifjutitan nevű felhasználó válasza:

Azt kéne belátni, hogy azok közül a háromszögek közül, amiknek minden oldala max 2dm lehet, annak a legnagyobb a területe, aminek minden oldala tényleg 2dm.


Ez nem ugyanaz, minthogy adott kerülető háromszög.


A gond ott van, hogy a Heron képletben mínuszos "tagok" is vannak. Emiatt nem teljesen nyilvánvaló a dolog.


De pont most rájöttem, hogy kell belátni.


Vegyünk fel egy háromszöget, aminek az alapja 2x. És minden oldala max y lehet.


Nyilvánvaló, hogy adott alap mellett akkor lesz maximális a magasság, ha a háromszög egyenlőszárú, és a két szár a hosszú


Ekkor a magasság gyök(a^2-x^2)

T=2x*m/2

Vagyis x*gyök(a^2-x^2)


Ezt négyzetre emelhetjük, akkor x^2*a^2-x^4 lesz, amit deriválva:

2*x*a^2-4*x^3=0

x=0 nekünk nem jó, leoszthatunk vele

a^2=2*x^2

x=a/gyök(2)


De ez túl nagy! mert 2x<=a kell legyen, vagyis x szeretne minél nagyobb lenni, de a/2-nél tovább nem tud nőni.

Tehát x=a/2-nél lesz a maximális a terület, ahogy azt sejtettem.



----------------


És most térjünk vissza az alapfeladathoz, megpróbálom elölről, ezúttal rendesen.

Válasszuk ki az egyik élt, amihez tartozó két lap olyan, hogy minden él 2dm lehet maximum. (Ilyen persze biztos, hogy van)


Legyen ez az él 2x hosszú. Egyelőre tekintsük adottnak.


Az alapterület az akkor maximális, ha az ott lévő másik két él 2-2dm.

Alapterület: 2x*m/2=x*gyök(4-x^2)


A MAGASSÁG akkor maximális, ha a "függőleges lap" tényleg függőleges, és a másik két él 2-2dm.

M=gyök(4-x^2)


Vagyis V=x*gyök(4-x^2)*gyök(4-x^2)/3


x*(4-x^2)-t kell maximalizálni, ahol x<=a/2


Deriválunk, és az jön ki, hogy x=a/2-nél lesz maximum. V=1.



A válaszíró 89%-ban hasznos válaszokat ad.
# 5/6Időpont 2012. márc. 31. 23:06 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

Ejnye! Nem illik ugyanazt többször megkérdezni. Ha az ember látja, hogy valaki már beírta neked a választ, nem vesződik azzal, hogy leírja tartalmilag ugyanazt. Nem szép dolog mások segítőszándékával visszaélni.

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..



A válaszíró 74%-ban hasznos válaszokat ad.
# 6/6Időpont 2012. ápr. 1. 01:35 Privát üzenet
Hasznos számodra ez a válasz?

Értesítsünk róla, ha új válasz érkezik? Válasz küldése



Kapcsolódó kérdések
Matematika 12. osztály (térgeometria ismétlés középszint) házi feladat :S segítség?!?!
Matematika 10. osztály?
Matematika Hf-m?
Matek szorgalmi, Térgeometria?
Lenne egy olyan matek feladat, ami kifogott rajtam. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III térgeometria 2001-es feladat, amely így szól: Egyenes körhenger...
Valaki segítsen nekem pls, mert aggaszt ez a házi! Térgeometria, Kék 2002-es feladat: egy körhenger felszíne:62 528,7 négyzet centiméter, palástjának területe 51 983,8 négyzet...

Kérdések a Közoktatás, tanfolyamok rovatbólKérdések a Házifeladat kérdések rovatból








Minden jog fenntartva © 2018, www.gyakorikerdesek.hu | GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Sitemap | WebMinute Kft. | Kapcsolat: info (kukac) gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!