Melyik az a hatványsor, amely a (-3;3] intervallumon konvergens, másutt nem?

Az intervallum közepe 0, vagyis a hatványsor ilyen lesz:

Σ a_n·x^n

Ha 3 a konvergenciasugár, akkor n-edik gyök |a_n| határértéke 1/3 kell legyen. Ilyen pl. ez (de nem ez lesz az igazi):

a_n = 1/3^n

Ezen kívül az kell még, hogy x=3-ban konvergens legyen, x=-3-ban pedig divergens. x^n = (-3)^n alternáló előjelű, vagyis Leibniz sort lehet vele csinálni, ami könnyebben konvergál. De nekünk pont fordítva kell, hogy pozitívnál konvergáljon. Ha (-1)^n-nel beszorozzuk a sor elemeit, akkor megfordul ez az alternálás:

Σ a_n·(-1)^n·x^n

Ez már x=3 esetén alternáló, -3-nál pedig nem. Ha pl:

a_n·3^n = 1/n

akkor mivel 1/n határértéke 0, az alternáló sorozat Leibniz típusú lesz, tehát konvergens lesz x=3-ban. Amikor meg nem alternáló, akkor Σ1/n divergens, és olyan kell nekünk.

Vagyis a sor pl. ilyen lehet:

Σ 1/n·(-1/3)^n·x^n

Az 1/n-nel való szorzás a konvergenciasugarat nem érinti, mert határértékben akkor is 1/3 lesz |a_n| n-edik gyöke, hisz 1/n n-edik gyöke 1-hez tart.

Ha kicsit más alakba írjuk, ismerős lehet:

Σ (-x/3)^n / n

Ugyanis az ln(1+x) sora ez:

ln(1+x) = Σ x^n/n

Vagyis a keresett sor az ln(1-x/3) hatványsora

Ezt a második választ sikerült elrontanom... Valójában:

ln(1+x) = Σ (-1)^(n+1)x^n/n

a szumma n=1-től végtelenig megy.

Az alternáló előjelet teljesen elfelejtettem, bocs.

Azt hiszem, kár volt ebbe a logaritmus dologba belemennem, az első válasz önmagában jó. (Legalábbis remélem, hogy ott nem rontottam el semmit...) Mindenesetre ha már belekezdtem, így kellene a logaritmust behozni:

Máshogy felírva:

ln(1+x) = - Σ (-x)^n/n

Szóval a feladat szerinti hatványsor a -ln(1+x/3) hatványsora.

----

Fontosabb megjegyzés az első válaszomhoz, hogy ott is a szummázás n=1-től végtelenig kell menjen, hisz 1/n nincs értelmezve n=0 esetén.