Tudnátok segíteni? (matek)

Teljesen szabadra eresztett fantáziával feltételezel dolgokat, aztán nem gondolsz bele. Nézzük mondjuk az utolsót:

"az alap adott helyzetben marad, csak a szemközti csúcs megy mondjuk jobbra. Így a magasságvonal is jobbra megy pont abban az arányban, ahogy megosztja a szemközti szögeket."

Gondolom itt is a "szemközti szögek" helyett egyes számban "szemközti szög"-et akartál írni. Nevezzük az oldalakat a és b-nek, az alapot c-nek. Az alapot a magasság p és q részekre osztja. Az a-val szemközti szög α, a b-vel szemközti a β. Az alappal szemközti γ szöget a magasság 90°-α és 90°-β szögekre osztja.

Ugye azt állítod, hogy (90°-α)/(90°-β) = a/b

A szinusztételből tudjuk, hogy a/b = sin α/sin β. (Ha nem ismered ezt a tételt, nézz utána.) Ha igaz lenne az állításod, akkor ez lenne:

(90°-α)/(90°-β) = sin α / sin β

Ez nagyon fura lenne, ha minden α,β-ra igaz lenne. Próbáld ki néhánnyal, ha nem hiszed.

Tanuld meg a koszinusztételt, azt a legjobb ilyen feladatoknál használni.

Kerdezo: A gondolatmeneted kovethetetlen, tele hibakkal.

Fejezd be az elkepzeleseid , mondd meg milyen eredmenyre jutottal. Maris lathato lesz,hogy csak a fogalmazas volt e rossz, vagy az egesz elkepzeles teves.

Lehet, hogy csak a nagy melegnek köszönhető, hogy az oly sok nagyszerű, tanárokat megszégyenítő szintű rávezetést, magyarázatot, megoldást produkáló válaszolóknak csak kioktatásra tellett, és senki nem vette magának a fáradságot, hogy a kérdező gondolatmenete alapján próbáljon meg segíteni, tisztázni a félreértéseket. Sokkal egyszerűbb volt hülyének nyilvánítani, mint megmutatni neki a megoldást.

Az igaz, hogy a gondolatmenetben keverednek fogalmak, tételek, de a lényeg kihámozható belőle.

Ez pedig az az elképzelés, hogy a magasságvonal által kettéosztott szög részeinek felhasználásával oldja meg a feladatot! Saját bevallása szerint nem világos számára a koszinusz tétel ("Majd ha megértem, akkor használom a tételt."), ezért szeretne más úton eljutni a végeredményhez.

Néhány dolgot előzetesen nem árt tisztázni.

********

""szögfelező merőleges"

Na ilyen nincs.

A szögfelező az nem merőleges az oldalra..."

Tévedés!

Bizony van nem egy olyan eset, amikor a szögfelező merőleges a szemben fekvő oldalra.

Lásd az egyenlő oldalú és az egyenlő szárú háromszöget.

Mint kiderült, ez az egyik oka a fogalmak keveredésének a kérdező fejében.

*************

"Arra meg én nem ismerek tételt, hogy a magasságvonal milyen arányban osztja a szöget. Valószínűleg nincs is, úgyhogy a gondolatmenetednek SE FÜLE SE FARKA."

Az, hogy valaki nem ismer egy összefüggést, nem jelenti azt, hogy az nem is létezik! Nem szívesen, de azt kell mondanom, kissé nagyképű és átgondolatlan a kijelentés.

**********************************************************

Az alábbiakban megmutatom, hogy meg lehet oldani a feladatot a koszinusz tétel ismerete nélkül, pusztán csak a magasságvonal által felosztott szög részeinek és a megadott oldalak segítségével.

Előljáróban annyit: a kérdező gondolatmenete működőképes ötlet, csak a szög felosztásának arányát kell tisztázni.

A továbbiakhoz lásd a következő ábrát

[link]

A szögosztás aránya

Az 'a' oldalhoz tartozó 'm' magasságot a megadott oldalak és a szög részeinek segítségével felírva

c*cos(α1) = b*cos(α2)

ebből

b/c = cos(α1)/cos(α2)

vagyis nem a szögek, hanem azok koszinuszaik hányadosa egyenlő a közrefogó oldalak arányával.

Az előző összefüggésből kiszámítható felosztott szög részeinek nagysága.

Ugyanis

α = α1 + α2

α1 = α - α2

ezzel

b/c = cos(α - α2)/cos(α2)

A számlálót kibontva

b/c = [cosα*cos(α2) + sinα*sin(α2)]/cos(α2)

Tagonként elvégezve az osztást

b/c = cosα + sinα*tg(α2)

amiből

(A) tg(α2) = (b/c - cosα)/sinα

======================

A jobb oldalon csupa ismert adat, így az α2 szög számítható.

A másik rész

α1 = α - α2

A szögek ismeretében a keresett 'a' oldal

Mivel

a1 = c*sinα1

a2 = b*sinα2

és

a = a1 + a2

=========

Természetesen a koszinusz tétel segítségével könnyebben lehet megoldani, de mint látható, nem az az egyedüli lehetőség.

****************

Egy kiegészítés

A (A) képletet kicsit más formában felírva

tg(α2) = (b - c*cosα)/c*sinα

lehetőséget ad a megoldás geometriai interpretációjára.

A másik szögrész képlete az előző mintájára

tg(α1) = (c - b*cosα)/b*sinα

**************************************************

Utóirat

Bár nem része a kérdésnek, leírnám a koszinusz tétel egy levezetését, amihez csak a Pithagorasz tétel és a szögfüggvények ismerete szükséges. Talán tudja valamire használni a kérdező. :-)

A feladat

Ha adott egy háromszög két oldala és az általuk közbezárt szög, hogyan számítható ki a háromszög harmadik oldala?

A jelölések értelmezéséhez lásd ezt az ábrát

[link]

Az egyik ismert oldalhoz tartozó magasság (m) az oldalt két részre (p, q), a háromszöget pedig két derékszögű háromszögre osztja.

A keresett oldal a BCT derékszögű háromszögből

a² = m² + q²

Lássuk az ismeretlen tagokat

A magasság az ATC derékszögű háromszögből

m² = b² - p²

így

a² = b² - p² + q²

Mivel

p + q = c

ezért

q = c - p

ezt behelyettesítve az 'a' oldal képletébe

a² = b² - p² + (c - p)²

Elvégezve a négyzetre emelést, összevonás után marad

a² = b² + c² - 2cp

Eddig még nem használtuk az ismert szöget, most jött el az ideje

Az ATC derékszögű háromszögben

p = b*cosα

Ezt behelyettesítve az előző képletbe a

a² = b² + c² - 2bc*cosα

==================

formula adódik, ami nem más mint a koszinusz tétel matematikai megfogalmazása. :-)

Ha van kérdés, állok elejbe. :-)

DeeDee

**********

Szep levezetes, nem bogaraztam sokaig.

Annyi viszont latszik: ha ezt erti, de a koszinusztelelt nem akkor meglepodom:)

"Az alábbiakban megmutatom, hogy meg lehet oldani a feladatot a koszinusz tétel ismerete nélkül"

Ez viszont egyertelmu volt , ha nem lehetne maskepp akkor eleg nehez lenne bizonyitani a koszinusz tetelt:P

De grat a kitartasodert:)