Matematika feladathoz segítségre lenne szükségem (? )

A reciprokok osszegenel ha kozos nevezore hozol, akkor a nevezoben az eredeti szam lesz, a szamlaloban meg az osztok osszege. Ha ezzel elosztod az osztok osszeget, akkor az eredeti szamot kapod meg.

Az hogy a szamlaloban miert az osztok osszege lesz a kozos nevezore hozas utan az esetleg kerdeses.

Nos azert mert ha ab =n, akkor 1/a-bol b/n lesz, 1/b-bol pedig a/n.

Ha n=a*a, akkor meg 1/a-bol lesz a/n.

Vagyis minden oszto pontosan egyszer lesz meg a szamlaloban is.

Legyen N az adott pozitív szám, az osztói pedig n1; n2; n3; ... nk. (k 0-tól nagyobb természetes szám.)

A keresett érték ezekkel a jelölésekkel felírva:

(n1+n2+n3+...+nk)/(1/n1+1/n2+1/n3+...+1/nk)

A fenti kifejezés főtörtvonalára nézve, a nevező kiszámolásakor k db törtszámot kell összegezni, amelyeknek számlálója egységesen 1.

Az összegezésnél meg kell keresni az 1/n1; 1/n2; 1/n3; ... 1/nk törtek legkisebb közös nevezőjét.

Mivel n1; n2; n3; ... nk az N szám osztói, ezért azt is mondhatjuk, hogy N ezeknek a számoknak a többszöröse. Hogy N-től kisebb többszörösük nem lehet, az abból következik, hogy mivel n1; n2; n3; ... nk felsorolás az N szám minden osztóját tartalmazza, és minden 0-tól nagyobb természetes szám osztható önmagával, ezért az összes osztók felsorolásában szerepelnie kell N-nek is. Tehát a legkisebb közös többszörös nem lehet kisebb N-től.

Most már tudjuk, hogy a törtek összegzésénél a legkisebb közös többszörös N, és a számlálókat határozzuk meg. Minden tört esetén megnézzük, hogy N hányszorosa az ni számnak (1<=i<=k), és ezt a számot írjuk a nevezőbe. De ez a nevezőbe írt szám is osztója az N számnak, tehát a számlálókban sorra megjelenik az N szám összes osztója.

Ha a törteket a számlálójuk szerint rendezzük, akkor ezt kapjuk:

(n1+n2+n3+...+nk)/(n1/N+n2/N+n3/N+...+nk/N).

Azaz

(n1+n2+n3+...+nk)/[(n1+n2+n3+...+nk)/N].

Ez pedig így írható:

N*(n1+n2+n3+...+nk)/(n1+n2+n3+...+nk)=N.

És éppen ezt szerettük volna bizonyítani.