Mikor változik meg a relációs jel irány?

Akkor valtozik meg, ha negatív számmal szorzol. Ha tudod, hogy a k milyen értékeket vehet fel, akkor tudod azt is, hogy a k+1 lehet-e negatív. Amikor lehet, akkor megváltozik, amikor nem lehet, akkor nem változik meg.

Ha a k-ról nincs semmi előzetes megkötés, akkor feltételezni kell, hogy lehet ilyen is, olyan is. Ilyenkor az egy szem egyenlőtlenség helyett kettőt kell megoldani. Így:

Két megoldási ág lesz, a) és b)

a) Ha k+1 > 0, vagyis ha k > -1, akkor:

Pozitívval szorozva marad az egyenlőtlenség:

k²+2k+2 ≥ 2·(k+1)

k² ≥ 0

Ez minden k-ra teljesül, mert bárminek a négyzete pozitív (vagy 0).

A megoldás viszont nem az, hogy k bármi lehet, hanem ezt szükíteni kell azzal, hogy most csdak k>-1 esetekre oldottuk meg a feladatot.

Tehát a megoldás első fele: k>-1

b) Ha k+1 < 0, vagyis ha k < -1:

A szorzás megfordítja az egyenlőtlenség irányát:

k²+2k+2 ≤ 2·(k+1)

k² ≤ 0

Ez csak k=0 esetén teljesül.

De a megoldásnál figyelembe kell venni a k-ra való megkötést is, mármint hogy k<-1, tehát a 0 nem megoldás most.

A b) esetnek nincs megoldása.

A teljes feladat megoldása az a) és b) megoldások összessége, ami most annyi, hogy k > -1.