Matek feladat, mi a megoldás? Határozzuk meg azokat a számokat, amelyek előállíthatók egymást követő természetes számok összegeként.

Két egymás utáni szám: n, n+1

Az összegük: n+n+1 = 2n+1

vagyis két egymás utáni szám összege mindíg páratlan

és nyilvan minden páratlan szám megkapható pontosan a fenti felbontásban.

3 egymás utáni szám : n-1, n, n+1

Ezek összege:

n-1 + n + n+1 = 3n

vagyis 3 egymá utáni szám mindíg osztható 3-mal,

továbba a fenti felbontással minden 3-mal osztható szám meg is kapható

2k+1 db egymás utáni szám:

n-k, n-(k-1), ... n ,... n+(k-1), n+k

Ezek összege (2k+1)n

vagyis 2k+1 egyms utáni természetes szám összege az mindíg osztható 2k+1-gyel és minden 2k+1-gyel osztható természetes szám elő is állítható pontosan a fenti módon.

Nézzük mi van ha páros számú egymásra követező számot adunk össze:

2k egymás utáni szám összege:

n-(k-1) + n-(k-2) + ... + n + n+1 + ... + n+(k-1) + n+k =

2kn+k = k(2n+1)

Vayis k-val osztható lesz az összeg, sőt amint látható k-nak pontosan a páratlan többszörösei állnak elő így.

Amik nem állíthatók elő, azok a 2 hatványok.

Ugyanis k darab egymást követő szám összege k·"átlag":

a)

ha k páratlan, akkor k·[középső egész szám]

b)

ha k páros (2n), akkor 2n·["majdnemközépső"+0,5]

ami = n·[2·"majdnemközépső"+1]

Mindkét esetben a szorzat egyik tényezője páratlan volt:

a) esetben k

b) esetben 2·"majdnemközépső"+1

Vagyis csak olyan szamot lehet előállítani, aminek van páratlan osztója. A 2 hatványoknak pedig nincs.

Azt még külön be kell bizonyítnai, hogy minden más szám előállítható...

Minden páratlan prím előállítható egyszerűen azért, mert páratlan: p = 2k+1 = k+(k+1)

Vegyük az összetett számok legkisebb páratlan prím osztóját, ez a p. (Ha a szám nem 2 hatvány, akkor van neki ilyen.)

A szám: N = p·n

p-ről csak azt használjuk ki, hogy páratlan: p=2k+1

N = (2k+1)·n

Ez pedig egy olyan egymást követő sorozat összege, ahol középen van az n szám, előtte mögötte meg van k darab kisebb illetve nagyobb egymást követő szám:

(n-k) + (n-k+1) + ... + (n) + ... + (n+k-1) + (n+k)

Még ott lehet gond, hogy n-k természetes szám-e... szóval még nem teljes a bizonyítás.

Ja, az első (#2) válaszomat lehet egyszerűsíteni:

Az n-nel kezdődő k darab egymást követő szám összege egy számtani sor:

k(2n+k−1)/2

- Ha k páros, akkor 2n+k-1 páratlan. k/2 bármi lehet, de a másik szorzó páratlan.

- Ha k páratlan, akkor van páratlan szorzó.

Tehát az összegnek van páratlan osztója, vagyis nem lehet négyzetszám.

Folytatom a #3-at:

Szóval N = p·n, p = 2k+1 a legkisebb páratlan prímtényezője N-nek.

Ha k < n, akkor n−k pozitív, megvan a 2k+1 darab egymást követő természetes szám, ahogy az előbb írtam (n a középső szám).

Ha k ≥ n, akkor p=2k+1 még nagyobb. Mivel p a legkisebb páratlan prímtényező, ezért a kisebb n-ben már nem lehet páratlan prímtényező, vagyis n=2^m.

N = (2k+1)·2^m

Csináljunk egy olyan sorozatot, ami 2·2^m számból áll, amiknek átlaga k+0,5. A legelső szám k+1−2^m, a számok összege persze 2^m·(2k+1). Mivel k ≥ n = 2^m, ezért a legelső szám pozitív, vagyis természetes szám.

Kész.

Jaj, #4 utolsó szavát elrontottam :(

Ez a jó:

Tehát az összegnek van páratlan osztója, vagyis nem lehet 2 hatvány (2^m).