A matematikai indukcioval be tudod bizonyitani, hogy nullatol kulonbozo egesz szam eseten teljesulnek az egyenlotlensegek? a,1^2+3^+5^2+. + (2n-1) ^2=n (4n^2-1) /3 b,2^2+6^2+. + (4n-2) ^2=4n (2n-1) (2n+1) /3 c,1^3+3^3+5^3+. + (2n-1) ^3=n^2 (2n^2-1)

1)

 n

 Σ (2k-1)² = n(4n²-1)/3

k=1

n=1 esetén: 1² = 1(4·1²-1)/3 valóban teljesül.

Indukciós feltétel: feltesszük, hogy n-re teljesül a fenti egyenlőség.

Nézzük meg n+1-re, hogy egyenlő lesz-e (n+1)(4(n+1)²-1)/3-mal:

k=1..n+1 Σ (2k-1)² = (k=1..n Σ (2k-1)²) + (2(n+1)-1)²

Az első tagról tudjuk, hogy n(4n²-1)/3:

= n(4n²-1)/3 + (2(n+1)-1)²

= n(4n²-1)/3 + (2n+1)²

= n(4n²-1)/3 + 4n²+4n+1

= 4n³/3 - n/3 + 4n² + 4n + 1

= 4n³/3 + 4n² + 11n/3 + 1

Nézzük meg, mennyi (n+1)(4(n+1)²-1)/3:

(n+1)(4(n+1)²-1)/3 = (n+1)(4n²+8n+4-1)/3

= (n+1)(4n²/3 + 8n/3 + 1)

= 4n³/3 + 8n²/3 + n + 4n²/3 + 8n/3 + 1

= 4n³/3 + 12n²/3 + 11n/3 + 1

= 4n³/3 + 4n² + 11n/3 + 1

Ez ugyanaz, tehát teljesül a tétel.

b)

n

Σ (4k-2)² = 4n(2n-1)(2n+1)/3

k=1

Az a helyzet, hogy ez szóról szóra ugyanaz, mint az előbb. Ugyanis (4k-2)² = 4·(2k-1)², tehát a teljes szumma, is az a) négyszerese lesz:

4·n·(4n²-1)/3

Az pedig = 4n(2n-1)(2n+1)/3

De ha teljes indukcióval kell bizonyítani, akkor ugyanúgy kell, mint az a)-t. Próbáld meg az alapján.

c)

 n

 Σ (2k-1)³ = n²(2n²-1)

k=1

Ha n=1: (2·1-1)² = 1, ami ugyanannyi, mint 1²(2·1²-1) = 1. Tehát n=1-re teljesül.

Indukciós feltétel: Feltesszük, hogy n-re teljesül a fenti egyenlőség.

Nézzük meg ez alapján, hogy n+1-re teljesül-e, hogy a szumma értéke (n+1)²(2(n+1)²-1)

k=1..n+1 Σ (2k-1)³ = (k=1..n Σ (2k-1)³) + (2(n+1)-1)³

Az első tag az indukciós feltétel miatt megegyezik n²(2n²-1)-gyel, ezért a teljes összeg ez lesz:

n²(2n²-1) + (2(n+1)-1)³

= 2n⁴-n² + (2n+1)³

= 2n⁴-n² + 8n³+12n²+6n+1

= 2n⁴ + 8n³ + 11n² + 6n + 1

Nézzük meg, mennyi (n+1)²(2(n+1)²-1):

(n+1)²(2(n+1)²-1) = (n²+2n+1)(2n²+4n+2-1)

= 2n⁴+4n³+n² + 4n³+8n²+2n + 2n²+4n+1

= 2n⁴ + 8n³ + 11n² + 6n + 1

Ugyanaz, vagyis teljesül a tétel minden n-re az indukció miatt.

Bongolo a b.) feladatot rád hagyta, én meg pont azt csináltam meg:

[link]