Erre az egyetemi matekpéldára valaki megoldást?

Ennek binomiális eloszlása van. Nagy n esetén az közelíthető normálissal, ezt kéri a feladat.

A binomiális eloszlás adatai:

n = 22

p = 1/4

µ = n·p = 5.5

σ = √(np(1-p)) = 2.031

A közelítő normális eloszlás ugyanilyen várható értékű és szórású.

P(X≥8) = 1-P(X<8) a keresett valószínűség.

A binomiális eloszlás diszkrét értékeket vehet fel (7, 8, 9, stb.), a normális viszont folytonos. Ezért folytonossági korrekciót kell csinálni. Ezzel a korrekcióval P(X=8) azt jelentené, hogy P(7.5<X<8.5). Most pedig a P(X<8)-nak P(X<7.5) felel meg.

A normális eloszlásból kell tehát P(X<7.5)-et számolni.

Először standardizálzuk:

z = (7.5 - µ)/σ = (7.5-5.5)/2.031 = 0.985

A táblázatból:

Φ(0.985) = (0.8365+0.8389)/2 = 0.8377

A keresett valószínűség pedig 1−0.8377 = 0.1623

Megjegyzés:

Ha az igazi binomiális eloszlással számolunk:

Σ(n alatt k)p^k·(1-p)^(n-k)

ahol k megy 8-tól 22-ig, akkor 0.1615 jön ki, szóval elég jó a fenti közelítés.

---

Hogy miért kell közelíteni, ha pontosan is ki lehet számolni? Ma már nem is kellene, mert csak beírtam a wolframalpha-ba a fenti szummát, és kiadta az eredményt. Viszont ha ezt kézzel kellett volna szummázni, vagy akár csak közepesen okos számológéppel, akkor beleőszültünk volna. A Φ táblázatból viszont kézzel is gyorsan kijön a közelítés.