Hogy kell megoldani az alábbi trigonometrikus egyenletet?

Nem válaszoltál, de feltételezem, hogy tgx + 1

Kikötés: x ≠ π/2 + kπ

sin²x·(tgx + 1) = 3·(sinx·cosx - sin²x + 1)

Mivel sin²x+cos²x=1:

sin²x·(tgx + 1) = 3·(sinx·cosx + cos²x)

= 3·cosx(sinx+cosx)

sin²x·(sinx/cosx + 1) = 3·cosx(sinx+cosx)

sin²x·(sinx+cosx)/cosx = 3·cosx(sinx+cosx)

Ennek egyik megoldása az, ha sinx+cosx = 0. Azzal majd később foglalkozom, most feltételezzük, hogy nem 0, tehát lehet osztani vele:

sin²x = 3cos²x

Mivel cos2x = cos²x - sin²x és sin²x + cos²x = 1

ezért cos2x = 1 - 2·sin²x = 2·cos²x - 1

ezért sin²x=(1-cos2x)/2 és cos²x=(1+cos2x)/2

(1-cos2x)/2 = 3(1+cos2x)/2

1 - cos2x = 3 + 3cos2x

-1/2 = cos 2x

2x = 2π/3 + 2kπ     vagy     2x = -2π/3 + 2kπ

x₁ = π/3 + kπ

x₂ = -π/3 + kπ

És még volt ez is: sinx+cosx = 0

cosx = -sinx

cosx = sin(-x)

Mivel sin α = cos(π/2-α)

cos x = cos(π/2 + x)

Ennek is két megoldása van:

a)

x = π/2+x + 2kπ

Ez sosem teljesül, tehát ez nem megoldás

b)

-x = π/2+x + 2kπ

2x = -π/2 + 2kπ

x₃ = -π/4 + kπ