Ha értesz a trigonometrikus egyenletekhez, segítenél?

tg(α+β)/(1+tg²(α+β)) = tg(α-β)/(1+tg²(α-β))

Kikötések:

α+β ≠ 90° + k·180°

α−β ≠ 90° + k·180°

(most a k·180° nem érdekes, mert korlátozva van az intervallum)

1 + tg²x = 1 + sin²x/cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x

ezért ez lesz az egyenletből:

tg(α+β)·cos²(α+β) = tg(α-β)·cos²(α-β)

sin(α+β)·cos(α+β) = sin(α-β)·cos(α-β)

Tudjuk, hogy sin 2x = 2·sinx·cosx, ezért az egyenlet:

sin(2α+2β) = sin(2α-2β)

Annak, hogy sin x = sin y, két megoldása van:

a) x = y               (valójában x = y + k·360°)

b) x = 180°-y     (valójában x = 180°-y + k·360°)

(Azért csak zárójelben írtam a k·360° dolgokat, mert most az nem izgalmas, mert egy szűkebb intervallumon keressük a megoldást.)

Most:

a)

2α+2β = 2α-2β (+ k·360°)

β = -β (+ k·180°)

Vagyis ennek β=0° esetén van megoldása az adott intervallumon, és akkor α bármi lehet.

b)

2α+2β = 180° - (2α-2β)         (+ k·360°)

2α+2β = 180° - 2α+2β

4α = 180°

α = 45°                                     (+ k·90°)

Tetszőleges β esetén ez megoldás. Pontosabban a kikötésre vigyázni kell:

α+β≠90° miatt β nem lehet 45°

α−β≠90° miatt nincs további kikötés.

Egy másik megoldási lehetőség:

[link]